5
ex2coxs4x2C.
其中每一项虽然都应有5 一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
写出一个积分常数 C 即可.
三、直接积分法
求积分时，如果直接用求积分的两个运算法 则和基本公式就能求出结果， 或对被积函数进行 简单的恒等变形 (包括代数和三角的恒等变形) ， 在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能 求出结果，这种求不定积分的方法成为直接积分 法．
se2c xdxdx
ta x n x C .
例 11 已知物体以速度 v 2t2+1 (m/s)作直线运动， 当 t=1 s 时, 物体经过的路程为3m, 求物体的运动规律.
解 设所求的运动规律 s = s(t)，按题意有
积分得
s(t)v(t)2t21
s(t)(2t21)dt2t3tC 3
当 a e 时 , e x d x e ixn C ； ( 6 ) six d n x co x sC ； ( 7 ) se 2x d cxtax nC ； ( 8 ) c2 sx d c x co x tC ； ( 9 ) se x tc a x d x n se x c C ； ( 1)0cx s cc x o d x t cx s c C ；
( 1) 1 d x arx c sC i n arx c cC ； os 1 x 2
( 1 )2d x ar x c C t a a c rn x o c C t . 1 x 2
例1
求不定积分
1 x
dx.
解 被 积 函 1的数 定 义x域 0. 为 x
当 x > 0 时，因 为 (lnx)1, 所以 1dxl nxC;
5
x2 xdx x2dx
1
51
x2
C
2x3
xC.
5 1
7
(2)
1 dx x
1
x 2dx
2
1
11
x2
11
C
1
2x2 C
2
2 xC.
例 3 求不定积分 2xexdx.
解
2xexd x(2e)xd x
(2e)x
C
ln(2e)
2xex C. 1ln2
二、不定积分的基本运算法则
法则 1 两个函数的代数和的不定积分等于这 两个函数不定积分的代数和，即
f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) d x f 1 ( x ) d x f 2 ( x ) d x f n ( x ) d x .
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
k(x f)d xkf(x)d x(k 为不等于零的常数)
将条件 s|t=1 = 3，代入上式中，得 C 4 .
于是物体的运动规律为
3
s(t)2t3t4.
3
3
解
1
dx co2sxsin 2xdx
co2sxsi2nx
co2sxsin 2x
1 dx 1 dx co 2x s si2n x
1 dx 1 dx co 2x s si2n x
ta x c n x o C .t
例 10 求 tan2 xdx.
解 tan2 xdx se2x c1dx
(x2 1)x2 dx
x2(x2 1)
x21 dx x2 dx
x2(x21)
x2(x21)
dx 1
dx
x2 x21
1arctxanC. x
例 ７ 求
x4 dx. x2 1
解
x4 dx x4 11dx
x2 1
x2 1
(x 2 1 )x (2 1 )
d x
1 d x
x 2 1
x 2 1
证 类似性质 1 的证法，有
k f(x)dx k f(x)d xkf(x).
例 4 求不定积分 (ex 2 six n 2 xx)d x .
解
(ex 2six n 2 xx)d x
e x d x 2sx id x n 2xx d x
e ex x C 2 c 1 2 x o ( c 5 4 sx o x 5 2 C s (C 2) 1 2 2 C 5 2 2 x 5 2 2 C C 3 ) 3
(x21)dx
1 dx
1x2
x3xarctxaC n. 3
例 8 求
co2sx dx. coxssi nx
解
co2sx dx co2sxsi2nxdx
coxssi nx
c oxss in x
cox ssixn dx
sx i n cx o C .s
例 9 求
1 dx. co2sxsin 2x
第四章 不定积分
第二节 不定积分的基本公式和运 算法则 直接积分法
一、不定积分的基本公式 二、不定积分的基本运算法则 三、直接积分法
不定积分基本公式表
(1) kdxk xC(k为常 ); 数
( 2 )x d x 1x 1 C , ( 1 ) ; 1
(3) 1dxln|x|C; x
(4) axdxax C; ln a
[ f ( x ) g ( x ) d x ] f ( x ) d x g ( x ) d x .
证 根据不定积分定义，只须验证上式右端的 导数等于左端的被积函数.
f(x ) d x g (x ) d x
f(x ) d x g (x ) d x
f(x)g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
x
x
当 x < 0 时，因 ln 为 x )(1( 1 )1,
x x
所以
1dxln(x)C. x
综合以上两种情况，当 x 0 时，得
1dxln|x|C. x
例 2 求不定积分.
(1) x2 xdx;
(2) 1 dx. x
解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
本积分公式， 得
(1)
例 5 求
(1x)3 dx.
x2
解
(1x)3 dx x2
13x3x2x3 dx
x2
x123 x3xdx
d x x 2 3 1 xd x3 d xx d x
1 3 ln |x| 3 x 1x 2 C .
x
2
例 6 求
2x2 1 dx.
x2(x2 1)
解
2x2 1 dx
x2(x2 1)