一致性是对一个估计量最起码的要求。在无法 满足无偏性的情况下，我们可以搜集尽可能多 的样本，即使n→ ∞,参数估计值的分布将逼近 真实参数值。
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一致性的正式定义
令Wn是基于样本Y1,Y2, ,YN的参数的估计值， 则Wn是的一致估计量，对于任意一个正数 0,
PWn 0，当n
否则，Wn不是的一致估计量。 当Wn是一致时，我们说是Wn的概率极限，记为：
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拉格朗日乘数统计量
将y对施加限制后的自变量集进行回归，并保 留残差uhat。
将uhat对所有自变量进行回归，并得到R2，记 为Ru2.
计算LM=n Ru2. 将LM与xq2分布中适当的临界值c比较，如果
LM>c，就拒绝原假设。否则，我们就不能拒 绝原假设。
多元回归分析：渐进性
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
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5.1 一致性 5.2 渐进正态和大样本推断 5.3 OLS渐进有效性
计量经济学导论 刘愿
assumptions, the OLS estimators will have the asymptotic variances We say that OLS is asymptotically efficient Important to remember our assumptions though, if not homoskedastic, not true
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STATA命令语句：
Reg narr86 pcnv ptime86 qemp86 Predict ubar,resid Reg ubar pcnv ptime86 qemp86 avgsen tottime
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5.3 OLS渐进有效性
Estimators besides OLS will be consistent However, under the Gauss-Markov
y b0 b1x1 ...bkqxkq u
Now take the residuals, u, and regress
u onx1,x2,..., xk (i.e. all the variables) LM nRu2, where Ru2 is fromthis reg
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The idea of LM statistic
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渐进正态性
随着自由度提高，t分布渐进服从正态分布， 因此有:
b b b ˆ j
j
seˆj
a
~tnk1
因此，随着样本量增大，我们无需再担心 正态性假定是否满足问题，但仍然需要同 方差性。
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渐进标准误
如果u不是正态分布的，下式被称为渐进标准 误，t统计量称为渐进t统计量。
不满足上述条件，OLS是有偏和不一致的。
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不一致性的推导
^
b 1
的不一致（有时也粗略地称为渐近偏误）为：
plim b^1b1cov(x,u)/var(x)
因为Var(x)>0,所以，若x与u正相关，则
^
b1
的
不一致就为正，而若x与u负相关，则
^
b1
的不
一致为负。如果x与u之间的协方差相对于X的
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The discussion in the simple regression
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定理 5.2 OLS的渐进正态性
Under the Gauss - Markov assumptions,
(i)
n
bˆ j b j
a
~ Normal
0,s 2
a
2 j
,
where
a
2 j
plim
n 1
rˆij2
(ii) sˆ 2 is a consistent estimator of s 2
中心极限定理
根据中心极限定理，可以证明OLS估计值服从 渐进正态。
渐进正态意味着： P(Z<z)F(z) as n , 或者 P(Z<z) F(z) （标准正态累积分布函数）。
中心极限定理表明，任何均值为m ，方差为s2 经标准化后渐进的服从标准正态分布
Z
Y mY s
a
~N0,1
n
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plimbˆj bj
n
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OLS的一致性
在高斯-马尔科夫假定下，OLS估计值是一致 且无偏的。
类似的，我们可以像无偏性一样证明一致性， 为此需要引入概率极限。
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简单回归中证明一致性
bˆ1 xi1 x1 yi
xi1 x1 2
xi1 x1 b 0 b 1 xi1 u i
误差正态分布意味着，给定x情况下，y服从正 态分布。
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大样本推断
不满足正态性的情形相当普遍。任何偏向的变 量，如工资、被逮捕次数、储蓄等，不可能是 正态分布的。（正态分布意味着对称分布）
注意：正态性假定在OLS的最优线性无偏性中 并非必要的，仅仅是影响推断。
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Suppose we have a standard model, y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u and our null hypothesis is
H0: bk-q+1 = 0, ... , bk = 0
First, we just run the restricted model
where Covx1,x2 Varx1
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渐进偏误
渐进偏误的方向与遗漏变量偏误的方向类似。 两者的区别在于，渐进偏误使用总体方差和协
方差，遗漏变量偏误则基于样本对应量（以x 的样本值为条件） 不一致性是大样本问题，即使增加数据量，不 一致性问题仍然存在。 如果X1与X2不相关，则为不一致估计量；如 果相关，则为一致估计量。
bbb b n a r r 8 6 0 1 p c n v 4 p t i m e 8 6 5 q e m 8 6 u
u01pcnv2avgsen3totim e4ptim e865qem 86v
R u 20.0015, L M 27250.00154.094.61q,10% ,x2,
Px2 24.090.129
Running a regression of these residuals on those independent variables excluded under H0, we should get a small enough R2.
However, we must include all of the independent variables in the regression for technical reasons.
plimWn
和无偏性不一样，无偏性是估计量在给定样本容
量下的一个特征，一致性描述了估计量的抽样分
布在样本容量变大是的特性。
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一致性的直观理解
如果估计量是一致的，那么随着样本容量的增加，
bˆj的分布就越来越紧密地分布在bj的周围。当n趋向 无穷时，bˆj的分布就紧缩成单一一个点bj。这意味着，
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LM Statistic (cont)
a
LM~q2,socanchoosea critical value,c, froma q2 distributoin,or justcalculatea p-valueforq2
With a large sample, the result from an F test and from an LM test should be similar. LM>c, reject H
se bˆ j
sˆ 2
SSTj
1
R
2 j
sˆ ,
SSR j
sˆ
1 n2
n
uˆi2
i 1
SSR n2
se bˆ j c j
n,
SST j
ns
2 j
可以预期，标准误的收缩速度为样本容量平方 根的倒数。
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大样本检验方法：LM检验 LM Statistic (cont)
(iii) bˆ j b j
se bˆ j
a
~ Normal 0,1
计量经济学导论19bˆ j b j , v a r bˆ j
v a r bˆ j
s2
SST j
1
R
2 j
s2
n
r
i
2 j
i1
bˆ j b j
N
0
,
s
2
n
r
i
2 j
i1
n bˆ j b j
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一个较弱的假定
为了得到无偏性，我们需要零条件均值假设 E(u|x1, x2,…,xk) = 0→x的任意函数都与u无关
为了得到一致性，我们仅需要较弱的假定：零 均值和零相关:E(u) = 0 ,Cov(xj,u) = 0, for j = 1, 2, …, k. →每一个xj都与u无关。
N