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• 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型：
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AR模型的定义
• 具有如下结构的模型称为 p阶自回归模 型，简记为 AR(p)
xt 0 1xt1 2xt2 pxtp t
p 0
E(t
)
0，Va(rt
)
2,E(ts)
0,s
t
Exst 0,st
• 特别当0 0时，称为中心化AR(p) 模型
26
• 满足条件(3.16)和(3.17)式给出的区域
1,2211 ,21
称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角
形区域，见下图阴影部分。
27
28
29
• 例3.2 设AR(2)模型：X t 0 .7 X t 1 0 .1 X t 2平稳条件的讨论，可以 通过两种径进行讨论：
10
11
• 定理3.1 定义（3.1）中的线性过程是平稳
序列，且
G j t j
是均方收敛的。
j
12
3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
• 在应用时间序列分析去解决实际问题时， 所使用的线性过程是因果性的，即：
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• 设 B 为一步延迟算子，
则 BjXt Xtj，j 0 ，(3.4)可表为：
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t)
• 齐次线性差分方程
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p 0
7
齐次线性差分方程的解
• 特征方程
p a 1p 1 a 2p 2 a p 0
• 特征方程的根称为特征根，记作
8
非齐次线性差分方程的解
• 非齐次线性差分方程的特解
• 使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解z t
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t)
• 非齐次线性差分方程的通解
• 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的
特解之和 z t
Average model）
18
3.2.1一阶自回归过程AR(1)
• 通常地，由于经济系统惯性的作用，经济 时间序列往往存在着前后依存关系。最简 单的一种情形就是变量当前的取值主要与 其前一时期的取值状况有关，用数学模型 来描述这种关系就是下面介绍的一阶自回 归模型。
19
20
在一阶自回归AR(1)模型中，保持其平稳性
1,2,,p
• 齐次线性差分方程的通解
• 不相等实数根场合
• 有相等实根场合
zt c11 tc2t2cp
t p
z t ( c 1 c 2 t c d t d 1 )1 t c d 1 t d 1 c pt p
• 复根场合 z t r t( c 1 e i t c 2 e i t) c 3t 3 c ptp
zt ztzt
9
线性平稳时间序列分析
• 在时间序列的统计分析中，平稳序列是一类重要 的随机序列。在这方面已经有了比较成熟的理论 知识，最常用的是ARMA（Autoregressive Moving Average）序列。用ARMA模型去近似地 描述动态数据在实际应用中有许多优点，例如它 是线性模型，只要给出少量参数就可完全确定模 型形式；另外，便于分析数据的结构和内在性质， 也便于在最小方差意义下进行最佳预测和控制。 本章将讨论ARMA模型的基本性质和特征，这是 时间序列统计分析中的重要理论基础。
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AR(P)序列中心化变换
• 称 { y t } 为{ x t } 的中心化序列 ，令
0
11 p
yt xt
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自回归系数多项式
• 引进延迟算子，中心化AR(p)模型又可以
简记为
(B)xt t
• 自回归系数多项式
本节结构
• 方法性工具 • 线性过程的因果性和可逆性 • AR模型
1
3.1 方法性工具
• 差分运算 • 滞后算子 • 线性差分方程 在正式讨论线性过程之前，我们首先给出相
应的准备工具，介绍延迟算子和求解线性 差分方程，这些工具会使得时间序列模型 表达和分析更为简洁和方便
2
• 一阶差分 • p阶差分 • k步差分
差分运算
xt xt xt1
pxt p 1xt p 1xt 1
k xt xtk
3
滞后算子
• 延迟算子类似于一个时间指针，当前序列 值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序 列值的时间向过去拨了一个时刻
• 记B为延迟算子，有 xtpBpxt,p1
4
延迟算子的性质
B0 1
•
B(cxt)cB(xt)cxt1,c为任意常数
•
B (xtyt)xt 1yt 1
•
Bnxt xtn
• •
n
(1B)n (1)nCniBi
， i0 其中
Cni
n! i!(n i)!
5
用延迟算子表示差分运算
• p阶差分
p
pxt (1B)pxt (1)pCipxti i0
• k步差分 kxtxt k(1B k)xt
6
线性差分方程
• 线性差分方程
其中，G(B)
Gj
Bj
，今后将把
进行运算的算j0子，又可作为 B
G(B)看作对 t
的函数来讨
论。
14
在理论研究和实际问题的处理时，通常还需要用
t时刻及t时刻以前的 Xtj(j0,1,)
来表示白噪声 t ，即
15
16
17
3.2 ARMA模型的性质
• AR模型（Auto Regression Model） • MA模型（Moving Average Model） • ARMA模型（Auto Regression Moving
23
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• 下面利用特征方程的根与模型参数 1 , 2
的关系，给出AR(2) 模型平稳的
的取值条件（或值域）。
1
,
2
(11)(12)0
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• (3.16)和(3.17)式是保证AR(2)模型平稳，回 归参数 1 , 2 所应具有的条件。反之，若 (特3.征16方)和程(3的.1根7)式必成落立在，单则位特圆征内方。程2120
的条件是对应的特征方程 0
的根的绝对值必须小于1，即满足 1 。
对于平稳的AR(1)模型，经过简单的计算易 得
21
22
3.2.2 二阶自回归过程AR(2)
• 当变量当前的取值主要与其前两时期的取 值状况有关，用数学模型来描述这种关系 就是如下的二阶自回归模型AR(2)：
• 引入延迟算子 B 的表达形式为：