解析几何1.（21）（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。

（21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设①再设解得②，将①式代入②式，消去，得③，又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得故所求点P的轨迹方程为2.（17）（本小题满分13分）设直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交.（II）（方法一）由方程组，解得交点P的坐标为，而此即表明交点（方法二）交点P的坐标满足，，整理后，得所以交点P在椭圆.已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值。

（19）解：（Ⅰ）由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得当时，设切线l的方程为由；设A、B两点的坐标分别为，则；又由l与圆所以由于当时，因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.．（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.（19）解：（Ⅰ）由已知得解得，又所以椭圆G的方程为（Ⅱ）设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E，则；因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。

此时方程①为解得所以所以|AB|=.此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离所以△PAB的面积S=．（本小题满分13分）已知直线l：y=x+m，m∈R。

（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。

17．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。

满分13分。

解法一：（I）依题意，点P的坐标为（0，m）因为，所以，解得m=2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径故所求圆的方程为（II）因为直线的方程为所以直线的方程为由,（1）当时，直线与抛物线C相切（2）当，那时，直线与抛物线C不相切。

综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；当时，直线与抛物线C不相切。

解法二：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为依题意，所求圆与直线相切于点P（0，m），则解得所以所求圆的方程为（II）同解法一。

.（本小题满分12分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。

（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。

18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。

解：（I）由，（*）因为直线与抛物线C相切，所以解得b=-1。

（II）由（I）可知，解得x=2，代入故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即所以圆A的方程为. （本小题满分14分）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.19．（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知化简得L的方程为（2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得解得因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故，若P不在直线MF上，在中有故只在T1点取得最大值2。

（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端8.点的点集记为.证明：；21．解：（１），直线AB的方程为，即，，方程的判别式，两根或，，，又，，得，．（２）由知点在抛物线L的下方，①当时，作图可知，若，则，得；若，显然有点；．②当时，点在第二象限，作图可知，若，则，且；若，显然有点；．根据曲线的对称性可知，当时，，综上所述，（*）；由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，同理点M在直线上，方程的两根或，若，则不比、、小，，又，；又由（１）知，；，综合（*）式，得证．（３）联立，得交点，可知，过点作抛物线L的切线，设切点为，则，得，解得，又，即，，设，，，又，；，，．．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。

21．（本小题满分14分）解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，因此即①另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

MQ为线段OP的垂直平分线，又因此M在轴上，此时，记M的坐标为为分析的变化范围，设为上任意点由（即）得，故的轨迹方程为②综合①和②得，点M轨迹E的方程为（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：；当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E 1于。

再过H 作垂直于的直线，交因此，（抛物线的性质）。

（该等号仅当重合（或H 与D 重 合）时取得）。

当时，则综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H 的坐标为（3）由图3知，直线的斜率不可能为零。

设故的方程得：因判别式所以与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点。

又由E 2和的方程可知，若与E 2有交点，则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。

因此，直线的取值范围是. （本小题满分14分）平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。

试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。

若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。

（满分14分）解：（I ）设动点为M ，其坐标为，当时，由条件可得即，又的坐标满足故依题意，曲线C 的方程为当曲线C 的方程为是焦点在y 轴上的椭圆；当时，曲线C 的方程为，C 是圆心在原点的圆；当时，曲线C 的方程为，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当时，曲线C 的方程为C 是焦点在x 轴上的双曲线。

（II ）由（I ）知，当m=-1时，C 1的方程为当时，C 2的两个焦点分别为对于给定的，C 1上存在点使得的充要条件是由①得由②得 当或时，存在点N ，使S=|m|a 2；当或时，不存在满足条件的点N ， 当时，由，可得令，则由，①②从而，于是由，可得综上可得：当时，在C1上，存在点N，使得当时，在C1上，存在点N，使得当时，在C1上，不存在满足条件的点N。

11.(本小题满分13分）如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。

（Ⅰ）求，的方程；（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.（i）证明：；(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。

解析：（I）由题意知，从而，又，解得。

故的方程分别为。

（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由得，设，则是上述方程的两个实根，于是。

又点的坐标为，所以故，即。

（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为,又直线的斜率为，同理可得点B的坐标为.于是由得，解得或，则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标为于是因此由题意知，解得或。

又由点的坐标可知，，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。

．已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．解析：（I）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．由，得设则是上述方程的两个实根，于是．因为，所以的斜率为．设则同理可得：故当且仅当即时，取最小值16．.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB.答案：（1）由题意知M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),直线PA平分线段MN时，即直线PA经过M、N的中点,又直线（2）直线,由得，，AC方程：即：所以点P到直线AB的距离（3）法一：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，，两式相减得：.法二：设,A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,,两式相减得：,,法三：由得，直线代入得到，解得，解析：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断.另外还考查了解方程组，共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力, 考查推理论证能力.(1)(2)是容易题；（3）是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题.. （本小题满分13分）是双曲线：上一点，，分别是双曲线的左、右顶点，直线，的斜率之积为.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于、两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值.【解析】（1）点是双曲线：上，有，由题意又有，可得，则（2）联立，得，设，则，设，，即又为双曲线上一点，即，有化简得：又，在双曲线上，所以，由（1）式又有得：，解出，或.(本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．解析：（1）直线AB的方程是所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：（2）、由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)设=，又，即8（4），即，解得20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得………………4分当表示A，B的纵坐标，可知………………6分（II）t=0时的l不符合题意.时，BO ………………12分17（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C。