1 π
π
f (x)cos nx dx
-π
f(x) 以2π 为周期
(n = 0,1,2! )
傅里叶级数
ò 周期延拓
奇函数(偶函数)
奇延拓
偶延拓
bn =
1 π
π
f (x) sinnx dx
-π
(n = 1,2! )
正弦级数 (余弦级数)
定义在 [0, π] 上
Ø傅里叶级数
以2l为周期的 三角级数
å a0
u例1
设
f
(x)
=
ì -1 îí1 + x2
π< 0<
x£0 x£π
则其以2π 为周期的
傅里叶级数在 x = π 处收敛于何值.
u例2
函数
f
(
x)
=
ìí î
1 1
- π < x < 0 在 [-π, π]上展开为 0£ x£π
傅里叶级数， 写出其和函数 s( x).
u例3 设f (x) = π x - x2(0 < x < π), 又设 s( x)是 f ( x) 在(0, π) 内以 2π 为周期的正弦级数展开式的和函数，求当 x Î(π,2π) 时 s(x) 的表达式.
å¥
傅里叶级数，并由此求级数
1 的和.
u补2
将
f
(
x)
=
π
-
x
(0
£
x
£
n=1 n2
2π)展开为以2π 为周期的
å 2
¥
傅里叶级数，并由此求级数 (-1)n+1
1
的和.
n=1
2n - 1
u例6 将 f ( x) = x2 在 [-π, π]上展开成傅里叶级数，
å¥
并由此求级数
n=1
1 (2n - 1)2
n=1
ò 其中 bn
=
2
1 0
f
(x)sin πxdx,
(n
=
1,2,!)
,
求 sçæ - 1 ÷ö. è 2ø
二、题型练习
（一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开 （三）傅里叶系数的特征
二、题型练习
（一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开 （三）傅里叶系数的特征
u例5 将f (x) = 2+ | x | (-1 £ x £ 1) 展开成以2为周期的
1
x 0£ x£
u例4 设 f ( x) =
12
2-2x < x <1
2
å s( x)
=
a0 2
+
¥ n=1
an
cos
nπ
x,
-
¥
<
x
<
+¥,
1
ò 其中 an = 2 0 f ( x)cos nπ xdx, (n = 0,1,2,!) ,
求 sçæ - 5 ÷ö.
è 2ø
¥
å u补1 设 f (x) = x2(0 £ x £ 1), s( x) = bn sin nπ x, - ¥ < x < +¥ ,
è2 ø è2 ø 试证 f ( x)的傅里叶系数bn = 0,a2n = 0.
u例10若j( x)和y ( x)为[-π, π]上的连续函数，j (- x) =y (x) 问j ( x)的傅里叶系数 an , bn 与y ( x)的傅里叶系数an , bn
有什么关系?
2
+
¥
(an
n=1
cos
nπ x l
+
bn
sin
nπx ) l
ò 变
量 代 换
an
=
1 l
l -l
f (x)
nπ x cos dx
l
f(x) 以 2l 为周期
(n = 0,1,2! )
傅里叶级数
ò bn
=
1 l
l -l
f ( x) sin nπx dx l
(n = 1,2! )
Ø傅里叶展开 收敛定理 设f (x)是以2l 为周期的周期函数,如果它满足: (1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则f (x) 的傅里叶级数收敛,并且: 当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x); 当x是f(x)的间断点时,级数收敛于
试证 f ( x)的傅里叶系数a0 = a2n = b2n = 0. u补3 若 f ( x)在 [-π, π]上满足 f (x + π) = f (x)
试证 f ( x)的傅里叶系数a2n-1 = b2n-1 = 0. u例9 设 f ( x)是 [-π, π]上的偶函数，f çæ π + x÷ö = - f çæ π - x÷ö
[ ] 1 f (x- ) + f (x+ )
2
傅里叶级数习题课
一、内容小结 二、题型练习
傅里叶级数习题课
一、内容小结 二、题型练习
二、题型练习
（一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开 （三）傅里叶系数的特征
二、题型练习
（一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开 （三）傅里叶系数的特征
(n = 0,1,2!)
傅里叶级数
奇函数
ò bn
=傅12 里π f叶(x)系sin数nx
π -0π
dx
正弦级数
(n = 1,2!)
Ø傅里叶级数
以2π为周期
的三角级数
å 定义在
[-p
,p
]
上
a0 2
+
¥ n=1
(an
cos
nx
+
bn
sin
nx)
周期延拓
ò an
=
12
p
p
f (x)cosnx dx
-0p
的和.
u例7 将f ( x) = sinax (a > 0)在(-π, π)上展开成傅里叶级数.
l注 注意分情况讨论.
二、题型练习
（一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开 （三）傅里叶系数的特征
二、题型练习
（一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开 （三）傅里叶系数的特征
u例8 若 f ( x)在 [-π, π]上满足 f (x + π) = - f (x)
第九讲 傅里叶级数习题课
傅里叶级数习题课
一、内容小结 二、题型练习
傅里叶级数习题课
一、内容小结 二、题型练习
Ø傅里叶级数ຫໍສະໝຸດ 以2π为周期的三角级数
å 定义在
[-π,
π]
a0 2
上
+
¥ n=1
(an
cos
nx
+
bn
sin nx)
周期延拓
ò an =
1 π
π f ( x0)cos nx dx
-π
f(x) 以2π 为周期
f(x) 以2p 为周期
(n = 0,1,2!)
傅里叶级数
ò 奇函数(偶函数)
bn
=
1
p
p
-p f ( x0) sinnx dx
(n = 1,2!)
正弦级数 (余弦级数)
Ø傅里叶级数
以2π为周期
的三角级数
å 定义在
[-π,
π]
a0 上2
+
¥ n=1
(an
cos
nx
+
bn
sin nx)
周期延拓
ò an =