limA
n n


k 1 nk
An


k 1 nk
An lim An
n
同理
极限事件
lim A lim An n n n
当limAn＝lim An时，记
n n
lim An limAn＝lim An
n n n
称 lim An为随机事件序列{ An }的极限事件.
limAn
n
An
称limAn为事件序列{ An }的上限事件. 记
lim An
n k 1 n k
An
称 lim An为事件序列{ An }的下限事件.
n
上限事件与下限事件的含义与关系
上限事件lim An 表示事件An发生无穷多次.下
n
限事件 lim An 表示事件An至多只有有限个不发生.
设{i }为独立变量序列，若 1 n P{lim ( i E ( i )) 0} 1 n n i 1 则称独立变量序列{i }满足强大数定律
2、葛依克－瑞尼不等式
若{i }是独立随机变量序列，Di i2 ,
(i 1, 2, ), 而{Cn }是一列正的非增常数序列，则 对任意的正整数m, n(n m )，以及 0，均有
1 (1 2 n
a.s. n ) a
成立的充要条件为： E(i )存在且等于a
n
则称{ n ( )}以概率1收敛于 ( ), 亦被称为{ n ( )} 几乎处处收敛于 ( )，简记为
n ( ) ( )
a.s.
为了探讨以概率1收敛的内在含义，需要以下定义：
定义 设A1 , A2 ,
n
, An , 为一列事件，记
k 1 n k
第5.4节
强大数定律
一、以概率1收敛 二、博雷尔强大数定律 三、科尔莫戈罗夫强大数定律
四、独立同分布场合的强大数 定律
一、以概率1收敛
首先回顾一下5.2节关于以概率1收敛的概念
定义5.2.5 （以概率1收敛） 如果对随机变量
n ( )、 ( )有
P (lim n ( ) ( )) 1
P{max C j
m j n j
(
i 1
i
E ( i )) }

1

2 2 ( C m 1

n
2 C2 j j )
3、科尔莫戈罗夫不等式
若{i }是独立随机变量序列，Di i2 ,
(i 1, 2, n), 则对任意的 0，均有
设{ i }是独立随机变量序列， ( i 1, 2, 3, ), 且 D i , 则 2 n 1 n 1 n P{lim ( i E ( i )) 0} 1 n n i 1

四、独立同分布场合的强大数定律
定理5.4.4 (科尔莫戈罗夫)
设{ i }是独立同分布随机变量序列， (i 1, 2, 3, ), 则
P (limAn ) 1,
n
或者 P(lim An ) 0
n
a.s. P ( ) ( ) ( ) ( ) 定理5.4.1 n n
反例(p298例一) a.s. NO P n ( ) ( ) n ( ) ( )
n
同时因为
lim An
n


k 1 n k
An N ,
nk
n N
An An

( n N ) k ,
因而limAn lim An
n n
An limAn
n
k 1 n k
An
又因为
n
引理5.4.1 (博雷尔－康特立引理)
(1) 若随机事件序列{ An }满足 P ( An ) , 则
n 1
P (limAn ) 0,
n
P (lim An ) 1
n
n 1
(2) 若随机事件序列{ An }相互独立, 则 P ( An )＝ 成立的充要条件为
二、博雷尔强大数定律
定理5.4.2(博雷尔) 设n是事件A在n次独立试验
中的出现次数，在每次试验中事件A出现的概率 为p，那么当n 时， n P p 1 或者 n
n P lim p 1 n n
三、科尔莫戈罗夫强大数定律
1、定义(强大数定律)
j
P{max ( i E ( i )) }
m j n i 1
1

2 2 j j 1
n
科尔莫戈罗夫不等式是概率论中最重要的不等 式之一，当n=1时，科尔莫戈罗夫不等式就退化为 车贝晓夫不等式，而咯依克－瑞尼不等式又是科 尔莫戈罗夫不等式的推广.
4、科尔莫戈罗夫强大数定律 定理5.4.3 (科尔莫戈罗夫强大数定律)