第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =，则()f x = BA ．1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- Ｃ. 1()2x x e e -+ D ．0 2．闭曲线Ｃ为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y-+=+⎰CＡ．０ B.2 C.4 D.６ 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰DA ．2π-B 。

2πC 。

0 D. π ４。

∑为ＹOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DＡ。

０ B ． π C ． 14π Ｄ． 12π 5。

设222:C x y a +=，则22()Cxy ds +=⎰ CA.22a πB. 2a π C 。

32a π Ｄ． 34a π ６。

设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑［ B ］Ａ.4π B ．2π C.π D.12π７。

设Ｌ是从Ｏ(0，0)到B(1,1）的直线段，则曲线积分⎰=Lyds ［ Ｃ ］A 。

21B ． 21- C. 22 Ｄ。

22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0)与点（1, １）之间的一段弧,则Ｉ=［D ]A 。

655 Ｂ．1255 C ．6155- Ｄ。

12155- 9． 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是（ D ） A ．⎰-l ydy xdx 21; B 。

⎰-l xdx ydy 21;C.⎰-l xdy ydx 21; Ｄ. ⎰-lydx xdy 21。

１０．设2222:(0)S x y z R z ++=≥,1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA ．14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C 。

14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1。

设L 是以（0， 0), （1， 0）, （1， １), （0， １）为顶点的正方形边界正向一周,则曲线积分⎰=+-Ly dy x eydx )(2—22．S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π５．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰＝32π６． 设曲线C 为圆周221x y +=，则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰ 2π .7. 设Ｃ是以O （０，０)，A （1，0),B(0,１)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds)y x (1+8. 设∑为上半球面z =，则曲面积分∑的值为 83π.9. 光滑曲面z ＝f （x ，ｙ）在xo ｙ平面上的投影区域为D ，则曲面ｚ＝f(x ，y ）的面积是⎰⎰∂∂+∂∂+=Dd yzx z S σ22)()(1 １0．设L 是抛物线3y x =上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)Lx y dx -=⎰1211、cos ,sin ,0x t y t z t πΓ===设为螺旋线上相应于从到的一段弧，222()I x y z ds Γ=++=⎰则曲线积分 ()221ππ+ .12、设L 为222x y a +=的正向,则22L xdy ydxx y -=+⎰ 2π.三、计算题 1。

L⎰，其中L 为圆周221x y +=，直线yx =及ｘ轴在第一象限所围图形的边界。

解：记线段OA 方程,02y x x =≤≤，圆弧AB 方程cos ,0sin 4x y θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩ 线段OB 方程0,01yx =≤≤.则原式=OA⎰＋AB⎰+OB⎰=0+40ed πθ⎰+1x e dx ⎰=2(1)4e e π-+＃2．[ln(Ly xy x dy +++,其中L 为曲线sin ,0y x x π=≤≤与直线段0,0y x π=≤≤所围闭区域D 的正向边界.解：利用格林公式,P =[ln(Q y xy x =+,则P y∂=∂，2Q y x ∂=+∂ 故原式=()DQ Pdxdy x y ∂∂-=∂∂⎰⎰2Dy dxdy =⎰⎰sin 20xdx y dy π⎰⎰＝3014sin 39xdx π=⎰ ＃ 3.22Ly dx x dy +⎰，其中L 为圆周222x y R +=的上半部分，L 的方向为逆时针。

解:L 的参数方程为cos sin x R ty R t =⎧⎨=⎩，t 从0变化到π。

故原式=22220[sin (sin )cos (cos )]R t R t R t R t dt π-+⎰＝322[(1cos )(sin )(1sin )cos ]Rt t t t dt π--+-⎰＝343R - # 4．求抛物面22z x y =+被平面1z =所割下的有界部分∑的面积.解：曲面∑的方程为22,(,)z x y x y D =+∈，这里D 为∑在XOY 平面的投影区域22{(,)1}x y x y +≤。

故所求面积＝D =D20d πθ==⎰⎰＃ ５、计算(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰,其中L 为圆222()(0)x a y a a -+=>的上半圆周，方向为从点(2,0)A a 沿L 到原点O 。

解:添加从原点到点A 的直线段后，闭曲线所围区域记为D,利用格林公式(sin )x P e y my =-，cos x Q e y m =-，cos x P e y m y ∂=-∂,cos x Qe y x∂=∂ 于是(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰＋(sin )(cos )x x OAe y my dx e y m dy →-+-⎰=22Dm a m dxdy π=⎰⎰而(sin )(cos )xxOAey my dx e y m dy →-+-⎰=20000adx +=⎰，于是便有(sin )(cos )xxLe y my dx e y m dy -+-⎰=22m a π ＃６．222222()()()Ly z dx z x dy x y dz -+-+-⎰，其中L 为球面2221x y z ++=在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。

解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ 平面内的圆弧AB 的参数方程cos sin x y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩,t 从2π变化到0。

于是222222()()()ABy z dx z x dy x y dz -+-+-⎰＝0222[sin (sin )cos (cos )]t t t t dt π--⎰=43 由对称性即得222222222222()()()3()()()4LABy z dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz -+-+-=-+-+-=⎰⎰ ＃ 7．(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为平面1,0,x y z x ++==0,y =0z =所围立体的表面的外侧。

解:记1∑为该表面在XOY 平面内的部分,2∑为该表面在YOZ 平面内的部分，3∑为该表面在X ＯZ 平面内的部分，4∑为该表面在平面1x y z ++=内的部分。

1∑的方程为0,01,01z y x x =≤≤-≤≤，根据定向,我们有1(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰=1(1)z dxdy ∑+⎰⎰=010112x y xdxdy ≤≤≤≤--=-⎰⎰同理,21(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 31(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 4∑的方程为1,01,01z x y y x x =--≤≤-≤≤，故4(1)z dxdy ∑+=⎰⎰01012(2)3x y xx y dxdy ≤≤≤≤---=⎰⎰， 由对称性可得4(1)x dydz ∑+=⎰⎰42(1)3y dzdx ∑+=⎰⎰， 故4(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=⎰⎰于是所求积分为112322-⨯= ＃ 8.计算曲面积分:()[2sin()](3)x yS x y z dydz y z x dzdx z e dxdy +++++++++⎰⎰，其中S +为曲面1x y z ++=的外侧.解:利用高斯公式,所求积分等于1(123)u v w dxdydz ++≤++⎰⎰⎰=116832=8 ＃ 9. 计算I ＝⎰⎰++sxzdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为ｘ+y+z=1， ｘ＝０, ｙ=0, z=0所围立体的表面外侧解：设V 是x ＋y ＋ｚ＝１, x=0， y ＝0， z ＝0所围的立体 由Gass 公式得:Ｉ＝⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(=⎰⎰⎰---++yx x dz z y x dy dx 101010)(＝81＃１0。

计算I ＝⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233,其中Γ是从点Ａ（3, 2, 1）到点B （0， 0, 0）的直线段AB 解：直线段ＡB 的方程是123zy x ==；化为参数方程得: x=3t ， y=２t ， z=ｔ， t 从1变到0， 所以：I ＝⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233=03221[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt ⋅+⋅-⋅⎰=48787013-=⎰dt t ＃ 1１. 计算曲线积分I ＝⎰⋂-+-AMOxx dy y e dx y y e ,)2cos ()2sin ( 其中⋂AMO 是由点A(a ，０)至点Ｏ(0， 0) 的上半圆周ax y x =+22解:在ｘ轴上连接点O （0， 0), A （a, 0） 将⋂AMO 扩充成封闭的半圆形AMO Ａ 在线段OA 上， ⎰-=-+-OAx x dy y e dx y y e 0)2cos ()2sin (从而⎰⎰⎰⎰⋂-⋂=+=AMOOAAMOAAMO又由G ｒee ｎ公式得：⎰⎰⎰≤+==-+-AMOA axy x xxa dxdy dy y e dx y y e2242)2cos ()2sin (2π ＃12． 计算曲线积分dz y dy x dx z L333++⎰其中L 是ｚ=2)(22y x +与z ＝322y x -- 的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向 解：将L 写成参数方程：x=c ｏｓt, y ＝sint ， z=２ t ： 0π2→于是： dz y dy x dx z L333++⎰=⎰⎰+-ππ20420cos sin 8tdt dt t =π43另证：由斯托克斯公式得dz y dy x dx zL 333++⎰=⎰⎰∑-+-+-dxdy x dxdz z dydz y )03()03()03(22222:2,1z x y ∑=+≤上侧，则:2221333232001333cos 4Lx y z dx x dy y dz x dxdy d r dr πθθπ+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰ ＃ 13. 设曲面S 为平面x+y+z ＝1在第一卦限部分,计算曲面Ｓ的面积Ｉ 解：S 在ｘo ｙ平面的投影区域为：{}10,10),(≤≤-≤≤=x x y y x D xyＩ=⎰⎰SdS =dxdy xyD ⎰⎰3=⎰⎰-10103xdy dx =23)1(31=-⎰dx x ＃ １4。