去伪存真 巧解函数模型应用题
新课标加大了对应用问题的考查，而函数的应用问题也是训练同学们建立模型的好素材，因此也成为了高考命题的热点，本文通过比较建立不同的数学模型，来探讨如何建立效果最好的函数模型。

例：某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，
1.3万双，1.37万双。

由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好。

为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程。

厂里也暂时不准备增加设备和工人。

假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量。

分析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型。

解：由题意知：可以得到四个点()()()()1,1,2,1.2,3,1.3,4,1.37A B C D 。

解法一：用一次函数模拟
设模拟函数为y ax b =+，以,B C 两点的坐标代入函数式，有2 1.23 1.3
a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得
0.11a b =⎧⎨=⎩
，所以得0.11y x =+。

评价：此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不可能的。

解法二：用二次函数模拟
设2
y ax bx c =++，将,,A B C 三点的坐标代入，有 1,42 1.2,93 1.3,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得0.05,0.35,0.7,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
所以2
0.050.350.7y x x =-++。

评价：有此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双。

而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴方程是 3.5x =），这显然不符合实际情况。

解法三：用幂函数模拟
设y b =，将,A B
两点的坐标代入，有1 1.2
a b b +=⎧⎪+=解得0.48,0.52.a b =⎧⎨=⎩
所以0.52y =。

评价：以3,4x x ==代入，分别得到 1.35, 1.48y y ==，与实际产量差距较大。

这是因为
此法只使用了两个月的数据。

解法四：用指数函数模拟
设x y ab c =+，将,,A B C 三点的坐标代入，得231,1.2,1.3,ab c ab c ab c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
解得0.8,0.5,1.4,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
所以0.80.5 1.4x y =-⨯+。

评价：以4x =代入得40.80.5 1.4y =-⨯+=1.35，比较接近1.37。

比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性。

经过筛选，以指数函数模拟为佳。

一是误差最小；二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势。

因此选用0.80.5 1.4x y =-⨯+模拟比较接近客观实际。

点评：对于本题而言首先找出几种方案，通过计算比较，确定出最佳方案，这是这类问题的突出特点。