常见的三种证法 A
D
E
F
B
A
D
EF
B
C
C
A
E’
D
E
B
C
F
A
如果 DE是△ABC的中位线
D B
E 那么 ⑴ DE∥BC， ⑵ DE=1/2BC
C
用 ① 证明平行问题
途 ② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
***中点想到 中线、中位线
பைடு நூலகம்
A
D。 。E
B
图1
C
B
D 。 4 。F 53 。
A 图2 E
∴ EF//HG，且EF=HG
求证：四边形EFGH是平 所以四边形EFGH是平
行四边形。
行四边形
提高练习：
Ａ Ｆ 3Ｇ
（1） 如图，AF=FD=DB， FG∥DE∥BC，PE=1.5。
Ｄ
4.5
1.5
Ｐ
Ｅ
则DP= ４——.５—，BC= —９——。Ｂ
9
Ｃ
（2）已知:△ABC三边长分
别为a，b，c，它的三条中
三角形的中位线定理
A、B两地被池塘隔开，现在要测量出A、B两地间的距 离，但又无法直接去测量，怎么办？这堂课，我们将一 起探究一种看似不能完成却可以完成的测量的方法。
如图，在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC
的中点D、E，如果能测量出DE的长度，那么就能知道AB的距离
吗？。
A
今天这堂课我们就要来探究其中的学问。
⑵在四边形ABCD另加条件AC⊥BD， 四边形EFGH是_____？为什么？
⑶若四边形EFGH是正方形，AC与BD 应满足什么条件？
走得最慢的人，只要他不丧失目标，也比漫无目的地徘徊的人走得快。 当你能飞的时候就不要放弃飞。 共同的事业，共同的斗争，可以使人们产生忍受一切的力量。——奥斯特洛夫斯基 才智之民多则国强，才智之士少则国弱。故今天之教，宜先开其智。
A
证明方法2.：如 图，延 长DE 到 F，使
EF=DE ，连 结CF.
D
E
F ∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC
∴△ADE ≌ △CFE
∴AD=FC 、∠A=∠ECF
B
C
∴AB∥FC
又AD=DB ∴BD∥= CF
所以 ，四边形BCFD是平行四边形
∴DE ∥ BC 且 DE=1/2BC
B
。
C
F
如图已知，在△ABC中，点D为线 段AB的中点，自D作DE ∥ BC，交 AC于E，那么点E在AC的什么位置 上？ 为什么？
经过三角形一
边的中点与另
这时DE是△ABC的 ___中__位__线____
一边平行的直 线必平分第三
边
猜想：DE与BC的位置
关系及数量关系？ DE ∥ BC 且DE=1/2BC
A
位线组成△DEF,△DEF的 三则——条△,为中H△位PN线A的B又C周组周长成长等△的于1H——P41—41—N,a—, b c 面积为△ABC面积的—16—
D HE
PN
B
C
F
3、证明线段倍分关系的方法常有三种：
（1）三角形中位线定理。
中点D
DE = ½ CB
C
A
E中点
B
（2）直角三角形斜边上的中 B 线等于斜边的一半。
文字叙述：
D B
A E C
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE ∥ BC，且DE=1/2BC
证明方法1.
过D作DE’∥BC，交AC于E’点 ∵D为AB边上的中点
∴E’是AC的中点（经过三角形一
D
A EE’
边的中点与另一边平行的直线必
D。
C。
。
。B
E
补充：（1）平行线等分线段定理推论
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线， 必平分第三边。
几何语言： 在△ ABC中 ∵ AD=DB，DE//BC ∴ AE=EC
中点D
A E中点
B
F
C
我们把DE叫△ ABC 的中位线
A
D
E
定义：连结三角形两 边中点的线段
叫做三角形的中位线
B
C
注意：
D中点
CD = ½ AB
C
A
（3）直角三角形300角所对的 B 直角边等于斜边的一半。
BC = ½ AB
C
300
A
AH
D 1. 连结BD 证：EH ∥= FG E
G 2.连结AC、BD ，证：EF∥HG， EH∥FG
B
F
C 3.连结AC、BD， 证：EF=HG，EH=FG
⑴在四边形ABCD另加条件AC=BD， 四边形EFGH是_______，为什么？
∴HG∥EF且HG=EF
∴四边形EFGH是平行四边形
【例题】求证：顺次连结四边形四条边的中点，
所得的四边形是平行四边形。
H A E
D
证明： 连结AC
∵AH=HD，CG=GD
G
∴HG//AC，HG=
1
AC
2
（三角形中位线定理）
B
F
C 同理：
1
已知：在四边形ABCD中， EF//AC，EF= 2AC
E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、DA的中点。
三角形的中位线和中线区别：
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段
三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段
理解三角形的中位线定义的两层含义:
① ∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
② ∵ DE为△ABC的中位线
D。
∴ D、E分别为AB、AC的中点
A 。E
一个三角形共有三条中位线。
平分第三边）
B
FC
所以DE’与DE重合，因此DE∥BC
同样过D作DF∥AC，交BC于F ∴BF=FC= 1/2BC (经过三角形一边的中点与
另一边平行的直线必平分第三边) ∴四边形DECF是平行四边形 ∴DE=FC ∴ DE=1/2BC
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE ∥ BC，且DE=1/2BC
A。
D。
40
20
C。
。
。B
E
4.例:求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的 四边形是平行四边形
已知：在四边形ABCD中,E.F.G.H 分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形 E
A H D
证明:连结AC ∵AH=HD CG=GD
B
G
F
C
∴HG∥AC
(三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半) 同理EF∥AC
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°，
则∠B= 60 度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= 4 cm，为什么？
2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
EF=3cm，DF=4cm，DE=5cm，
则△ABC的周长= 24 cm
C
3. 在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出 AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度， 也就能知道AB的距离了。为什么？如果测的DE =20m，那么A、B两点间的距离是多少？为什么？