1二面角的求法
一、思想方法
求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点. 直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。
常用的方法有以下几种：
方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。
方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线PA 、PB ，连接AB ，根据三垂线定理（或逆定理），∠PAB 为所求的二面角的平面角.如图2。
方法三（作垂面法）作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角（图3中∠MAN ）.
方法四（投影面积法）一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/
S S
.
方法五（异面直线法）如图4中，平面α、β相交成θ角，AC 、BD 分别在α、β上，且与棱垂直.若AC=m ，BD=n, CD=d ，则有AB 2
=m 2
+n 2
+d 2
-2mncos θ，故cos θ=2
2
2
2
2m
n d AB
mn
++- （1）
在已知二面角两个面上两点间距离（即|AB|）的情况下，可以用此公式来求θ. 说明：原来的公式中θ理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角），故根据A 、B 的位置情况
公式是AB 2=m 2+n 2+d 2
±2mncos θ.但二面角可以取钝角，故只需取“-”号得出公式（1）. 方法六（空间向量法）如图5，设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指
向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角α=12
12arccos
||||
n n n n 。
二、例题：
例1．在棱长为1的正方体
1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小；
（2
）求平面1C BD 与底面ABCD
所成二面角1C BD C --的平面角大小
例2．如果二面角l α
β--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为4,
的大小
例3．在正方体AC 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F∶FA=1∶2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角.
D
C F
H
B
A
E 例4．矩形ABCD 的两边AB=1
，BD
为棱折成二面角，使.求二面角A-BD-C 的大小.
例5．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点．当11BC B P ⊥时，求二
面角11C B P C --的大小．
例6．如图，
AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角
B A
C
D --的正弦值
例7．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD
∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CD B --的
大小
图12
A
B
C
D
E
F
例8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA 的中点.(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面
角A—EB—D的平面角大小.
例9. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23，以AC为轴翻折半平面，使二平面角B-AC-D为120°，求：(1)翻折后，D到平面ABC的距离；(2)BD和AC所成的角.
例10. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．
例11. 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，
AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．
三、练习题
1. 如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体，E 、F 分别是AD 、DD 1的中点，则面EFC 1B 和面BCC 1所成二面角的正切值等于（ C ）
2. 在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，Q 是PC 中点．
AC ，BD 交于O 点．
（Ⅰ）求二面角Q －BD －C 的大小：90° （Ⅱ）求二面角B －QD －C 的大小．60°
3. 已知平面α⊥平面β，交线为AB ，C ∈α，D ∈β，
34===BC AC AB ，E 为BC 的中点，
AC ⊥BD ，BD =8．
①求证：BD ⊥平面α； ②求证：平面AED ⊥平面BCD ； ③求二面角B －AC －D 的正切值．
3
4tg ==
∠BF BD BFD
4. 正方形ABCD 中，以对角线BD 为折线，把ΔABD 折起，使二面角A ˊ-BD-C 为60°，求二面角B-A ˊC-D 的余弦值。
-
7
1
5. 如图平面SAC ⊥平面ACB ，ΔSAC 是边长为4的等边三角形，ΔACB 为直角三角形，∠ACB=90°，BC=24
，求二面角S-AB-C 的余弦值。
11
22
6. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=900
，AB=a,AD=3a,sin ∠ADC=
5
5,
又PA ⊥平面ABCD ，PA=a ，求二面角P-CD-A 的大小。
（答案：arctg 3
5
）。