y
c Oa
b x
3.1.1方程的根与函数的零点
辨析1：若函数y=f(x)在区间[a,b]上不连续，但f(a)·f(b)<0，则f(x) 在区间(a,b)内一定有零点么？ （不一定）
辨析2：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，但f(a)·f(b)>0，则f(x)在 区间(a,b)内一定没有零点么？ （不一定）
布置作业
《创新设计》P49上的题目。
1． 西 方 资 本 主义迅 猛发展 ，急需 开辟更 大的商 品销售 市场和 原料产 地 2． 列 强 拥 有 强大的 经济实 力和船 坚炮利 的军事 优势
3． 当 时 中 国 正值封 建社会 末期， 国力渐 衰，内 部危机 严重 4.电脑和网络的迅猛发展，给人们提 供了许 多便利 ，使人 们变得 懒惰而 浮躁， 出现了 拼凑、 剪接式 的文章 。 5.文艺创作者不能把极端个性的东西 展现给 观众， 也不能 把属于 极端个 人的观 点强加 给大众 ，使文 艺作品 的传播 遭遇障 碍。 6.作家要承担起社会责任，关注大众 的艺术 审美品 位，尊 重大众 的理解 ，从而 引导大 众去感 悟真理 ，提升 大众的 思想境 界。
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是 增函数，所以它仅有一个零点。
y
14 12 10 8
....
6
.
4
. 2 . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Leabharlann x. －2－4
－6
课中活动
归纳总结，提高认识 1．函数零点的定义 2．函数的零点与方程的根的等价关系 3．函数零点的存在性定理
课后活动
(2) f(x)=log2x
x =1
归纳：求零点的方法 （1）方程法 （2）图象法
课中活动
问题3：现在有两组镜头（如图所示），哪一组镜头能说明人的行 程一定曾渡过河?
第Ⅰ组
河流
河流
第Ⅱ组
河流
河流
课中活动
问题3：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请 问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断 的函数图象与x轴一定会有交点?
x1=x2=1 (1,0)
X2-2x+3=0 y= x2－2x+3
y
5 4 3 2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
无交点
课前活动
问题2：二次函数的图象与x轴交点和相应二次方程的根有何关系?
判别式 △ =b2－4ac
△＞0
方程ax2 +bx+c=0两个不相等
(a>0)的根
的实数根x1 、x2
△=0
(函数的部分取值和函数图象已给出 )
x1 2
3
4
5
6
7
8
9
f(x) －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
由表和图可知 f(2)<0,f(3)>0， 即f(2)·f(3)<0， 说明这个函数在区间(2,3)内有零点。
课前活动
问题1：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？
方程 x2－2x－3=0
函数 y= x2－2x－3
函
y
数
2
1
的
－1
01 －1
2
3
x
图
－2
－3
象
－4
方程的实数根 x1=－1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1
y
2 1
－1 0 1 2 x
感谢聆听，欢迎指导！
y
O
a
b
x
问题4：A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示?
f(a)f(b)0
课中活动
二、函数零点的存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x) 在区间(a,b) 内有零点．即存在c∈(a,b)，使得 f(c)=0，这个c也就方程f(x)=0的根．
课中活动
辨析3：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在 区间(a,b)内一定只有一个零点么？ （不一定，有几个零点不确定）
思考：增加什么条件时，函数在区间(a,b)上只有一个零点？ （单调）
推论：在零点存在的条件下，如果函数在[a , b]上具有单调性， 函数f(x)在区间（a , b）上可存在唯一零点。
有两个相等的 实数根x1 = x2
△＜0 没有实数根
y
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
x1 0
x2 x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
y y
0 x1 x
(x1,0)
0
x
没有交点
结论：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。
课中活动
一、函数零点的定义
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数 x 叫特作别函注意数：y=零f点(x不)的是零点，点零(z点e是ro实p数oint).
课中活动
一、方程的根与函数零点的关系
区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．
课中活动
例1、求下列函数的零点 (1 )f (x )=-x2-2 x + 3
x1=-3x2=1
7.作家要有清醒的意识，没有容忍错 误的倾 向，为 社会充 满思想 活力和 精神自 由做出 自己的 贡献。 8．易砚制作工艺由简到繁，题材日 益丰富 ，制砚 师采用 平雕、 透雕等 手法， 雕刻出 的山水 、花卉 、人物 、名胜 等形象 惟妙惟 肖。
9．易砚不仅成为宫廷贡品和传世名 砚，而 且受到 了王公 贵族、 文人墨 客乃至 平民百 姓的珍 爱，这 应该是 自唐宋 以后的 事了。
课中活动
例2、已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表:
X123456
f(x) 23 9 -7 11 -5 -12
问：那么函数在区间[1 , 6]上的零点至少有几个，哪些区 间上一定存在零点
答案：至少有3个零点 分别在区间 （2， 3），（3，4），（4，5）上
课中活动
例3：求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。