作业答案:数理逻辑部分P14:习题一1、下列句子中,哪些是命题?在是命题的句子中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?(3 答:简单命题,真命题。
(9)吸烟请到吸烟室去! 答:不是命题。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
答:复合命题,假命题。
14、讲下列命题符号化。
(6)王强与刘威都学过法语。
答::p 王强学过法语;:q 刘威学过法语。
符号化为:p q ∧(10)除非天下大雨,他就乘班车上班。
答::p 天下大雨;:q 他乘班车上班。
符号化为:p q →(13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的。
答::p 2是素数;:q 4是素数。
符号化为:(())p q ⌝⌝∨15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。
:r 太阳从西方升起。
求下列复合命题的真值。
(2)(())r p q p →∧↔⌝(4)()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解答: p 真值为1;q 真值为1;r 真值为0.(2)p q ∧真值为1;()r p q →∧真值为1;p ⌝真值为0;所以(())r p q p →∧↔⌝真值为0.(4)p q r ∧∧⌝真值为1,p q ⌝∨⌝真值为0,()p q r ⌝∨⌝→真值为1;所以()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→真值为1.19、用真值表判断下列公式的类型。
(4)()()p q q p →→⌝→⌝所以为重言式。
(7)所以为可满足式。
P36:习题二3、用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出其成真赋值。
(1)()p q q ⌝∧→ 解答:()(())(())()10p q q p q q p q q p q q ⌝∧→⇔⌝⌝∧∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⇔所以为永假式。
(2)(())()p p q p r →∨∨→ 解答:(())()(())()()()1()1p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔∨⌝∨⇔ 所以因为永真式。
(3)()()p q p r ∨→∧ 解答:()()()()()()p q p r p q p r p q p r ∨→∧⇔⌝∨∨∧⇔⌝∧⌝∨∧为可满足式。
真值表为4、用等值演算法证明下面的等值式。
(2)(()())(())p q p r p q r →∧→⇔→∧ 解答:(()())()()()()p q p r p q p r p q r p q r →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧(4)()()()()p q p q p q p q ∧⌝∨⌝∧⇔∨∧⌝∨ 解答:()()()()()()()()()()p q p q p p p q q p q q p q q p p q q p ∧⌝∨⌝∧⇔∨⌝∧∨∧⌝∨⌝∧⌝∨⇔∨∧⌝∨⌝⇔∨∧⌝∧5、求下列公式的主析取范式,并求它们的成真赋值。
(1)()()p q q p ⌝→→⌝∨ 解答:023()()()()()()()()()(()(())(())()(()())(()())()())()p q q p p q q p p q q p p q q p p q q pp q p p q p q q p q p q p q p q p q p q p q p q m m m ⌝→→⌝∨⇔∨→⌝∨⇔⌝∨∨⌝∨⇔⌝∧⌝∨⌝∨⇔⌝∧⌝∨⌝∨⇔⌝∧⌝∨⌝∨∧⌝∨∧⌝∨⇔⌝∧⌝∨⌝∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⇔⌝∧⌝∨∧⌝∨∧⇔∨∨析取范式)所以成真赋值为00,10,11 (3)(())()p q r p q r ∨∧→∨∨ 解答:(())()(())()(())()(())()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q p r p q r∨∧→∨∨⇔⌝∨∧∨∨∨⇔⌝∧⌝∧∨∨∨⇔⌝∧⌝∨⌝∨∨∨⇔⌝∧⌝∨⌝∧⌝∨∨∨析取范式(())(())(()())(()())(()())()()()()()()()()()()()()(p q r r p q q r p q q r r p p q r r p p q q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧⌝∨∨⌝∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∨⌝∨∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧⇔⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧∧∨∧∧⌝∨∧∧∨01234567)()()()()()()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m m m m ⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⇔⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧∧∧⌝∧⌝∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧⇔∨∨∨∨∨∨∨所以为永真式,成真赋值为000,001,010,011,100,101,110,1116、求下列公式的主合取范式,并求它们的成假赋值。
(1)()q p p ⌝→⌝∧⌝ 解答:0123()()()()(())(())(())()()()()()()()()()()q p p q p p q p p p p qp q q p q q p p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q M M M M ⌝→⌝∧⌝⇔⌝⌝∨⌝∧⌝⇔∧∧⌝⇔∧⌝∧⇔∨∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨⌝∨⇔∨∧∨⌝∧⌝∨∧⌝∨⌝∧∨∧⌝∨⇔∨∧∨⌝∧⌝∨∧⌝∨⌝⇔∧∧∧合取范式为永假式,成假赋值为00,01,10,11(3)(())p p q r →∨∨ 解答:(())(())()1p p q r p p q r p p q r →∨∨⇔⌝∨∨∨⇔⌝∨∨∨⇔永真式,无成假赋值7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式。
(1)()p q r ∧∨ 解答:13567024()()(())(()())()()()()()()()()()()()p q r p q r r p p q q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m M M M ∧∨⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧⇔∨∨∨∨⇔∧∧已经是析取范式8、求下列公式的主合取范式,再用主合取范式求主析取范式。
(2)()p q r ↔→ 解答:06123457()(()())(()())(()())(()())()()()()()()()()p q rp q q p r p q q p r p q q p r p q q p rp q r p p r q q r q p r p q r q p r p q r p q r M M m m m m m m ↔→⇔→∧→→⇔⌝∨∧⌝∨→⇔⌝⌝∨∧⌝∨∨⇔∧⌝∨∧⌝∨⇔∨∨∧∨⌝∨∧⌝∨∨∧⌝∨⌝∨⇔∨∨∧⌝∨⌝∨⇔∨∨∧⌝∨⌝∨⇔∧⇔∨∨∨∨∨13、已知公式A 含3个命题变项,,p q r ,并且它的成假赋值为010,011,110,111,求A 的主析取范式和主合取范式。
解答:成真赋值为000,001,100,101 所以主析取范式为0145m m m m ∨∨∨ 而主合取范式为2367M M M M ∧∧∧ 15、用主析取范式判断下列公式是否等值。
(2)()p q ⌝∧和()p q ⌝∨ 解答:012()(())(())()()()()()()()p q p qp q q p p q p q p q p q p q p q p q p q m m m ⌝∧⇔⌝∨⌝⇔⌝∧⌝∨∨⌝∨∧⌝⇔⌝∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝∨∧⌝⇔⌝∧⌝∨⌝∧∨∧⌝⇔∨∨()p q p q m ⌝∨⇔⌝∧⌝⇔ 所以两式并不等值。
18、将下列公式化成与之等值且仅含有{,}⌝∧中联结词的公式 (3)(())p q r p →∧∨ 解答:(())(())()1p q r p p q r p p p q r →∧∨⇔⌝∨∧∨⇔⌝∨∨∧⇔29、在某班班委成员的选举中,已知王小红、李强、丁金生3位同学被选进了班委会。
该班的的甲、乙、丙3位同学预言: 甲说:王小红为班长,李强为生活委员; 乙说:丁金生为班长,王小红为生活委员。
丙说:李强为班长,王小红为学习委员。
班委会分工名单公布后发现,甲乙丙三人都恰好猜对了一半。
问王小红、李强、丁金生各任何职?(用等值演算求解) 解答:命题符号化::p 王小红为班长;:q 李强为生活委员;:r 丁金生为班长;:s 王小红为生活委员;:u 李强为班长;:v 王小红为学习委员。
设1:A p q ∧⌝;2:A p q ⌝∧;1:B r s ∧⌝;2:B r s ⌝∧;1:C u v ∧⌝;2:C u v ⌝∧; 由题意可知:0;0;0;0;0;0;0;0p r p s p u p v q s q u r u s v ∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔所以1112111222210;0;0;0;0;0;A B A B A C A C A B A C ∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔11220,0B C B C ∧⇔∧⇔所以121212111112121122211212221222212212()()()()()()()()()()()00000()00A A B B C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C ∨∧∨∧∨⇔∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧⇔∨∨∨∨∨∧∧∨∨⇔∧∧ 所以选举结果为:李强为生活委员;丁金生为班长;王小红为学习委员。
30、某公司要从赵、钱、孙、李、周5名新毕业的大学生中选派一些人出国学习。
选派必须满足条件:(1)若赵去,钱也去; (2)李、周两人中必有一人去; (3)钱、孙两人中去且仅去一人; (4)孙、李两人同去或同不去; (5)若周去,则赵、钱也同去。
用等值演算法分析该公司该如何选派他们出国。
解答:命题符号化::p 赵去;:q 钱去;:r 孙去;:s 李去;:t 周去。
所满足的条件即为(1)若赵去,钱也去:p q →; (2)李、周两人中必有一人去:s t ∨;(3)钱、孙两人中去且仅去一人:()()q r q r ∧⌝∨⌝∧; (4)孙、李两人同去或同不去:()()r s r s ∧∨⌝∧⌝; (5)若周去,则赵、钱也同去:()t p q →∧。