38．（广东文）16．(本小题满分14分)
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C( c ，0)． (1)若 AB AC 0 ，求 c 的值；
(2)若 c 5 ，求 sin∠A 的值
解: (1) AB (3, 4)
AC (c 3, 4)
由 ABAC 3(c 3) 16 25 3c 0 得 c 25
(A) ｜2 b ｜＞｜ a 一 2 b ｜ (B) ｜2 b ｜＜｜ a 一 2 b ｜
(C) ｜2 a ｜＞｜2 a 一 b ｜ (D) ｜2 a ｜＜｜2 a 一 b ｜
（山东 11）
在直角 ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是（ C ）
2
2
（A） AC AC AB （B） BC BA BC
向的 B2 处,此时两船相距10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
解：如图，连结 A1B2 ， A2B2 10
2
，
A1 A2
20 60
30
2 10
2，
A1A2B2 是等边三角形， B1A1B2 105 60 45 ，
在 A1B2B1 中，由余弦定理得
B1B22 A1B12 A1B22 2 A1B1 A1B2 cos 45 202 (10 2)2 2 2010 2 2 200 ，
Ｄ．
y
2
cos
x 3
π 12
2
（湖北文 9）
设 a (4，3) ，a 在 b 上的投影为 5 2 ，b 在 x 轴上的投影为 2，且 | b |≤14 ，则 b 为（ Ｂ ） 2
A． (2，14)
B．
2，
2 7
C．
2，2 7
D． (2，8)
（湖南 4）
设 a，b 是非零向量，若函数 f (x) (xa b)(a xb) 的图象是一条直线，则必有（ A ）
Ａ．[-6，1]
Ｂ．[4，8] Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]
（浙江 7）
若非零向量 a，b 满足 a b b ，则（ Ｃ ）
Ａ． 2a a b
Ｂ． 2a 2a b
Ｃ． 2b a b
Ｄ． 2b a 2b
（浙江文 9）
若非零向量 a 、 b 满足｜ a 一 b ｜＝｜ b ｜，则（Ａ）
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
（全国Ⅱ5）
在 △ABC
中，已知
D
是
AB
边上一点，若
AD
2DB，CD
1
CA
CB
，则
（
A
）
3
A． 2 3
B． 1 3
C． 1 3
D． 2 3
二、填空题
（安徽 13）
在四面体 O ABC 中， OA a，OB b，OC c，D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则
上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为 （ A ）
(A) 4a 5b 3 (B) 5a 4b 3
(C) 4a 5b 14
(D) 5a 4b 14
（天津 10）
设两个向量 a
(
2， 2
cos2 )
和b
m，m 2
sin
，其中 ，m，
为实数．若
a 2b ，则 的取值范围是（ Ａ ） m
解：(1) AB (3, 4) , AC (c 3, 4) 当c=5时， AC (2, 4)
cosAcos AC, AB
616
1
52 5 5
sin A 1 cos2 A 2 5
进而
5
(2)若A为钝角，则
25
AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0
解得c> 3
25 显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[ 3 ，+ )
已知平面向量 a (1，1)，b (1，1) ，则向量 1 a 3 b （ Ｄ ） 22
Ａ． (2，1)
Ｂ． (2，1)
Ｃ． (1，0)
Ｄ． (1，2)
（福建 4）
对于向量 a，b，c 和实数 ，下列命题中真命题是（ B ）
A．若 ab 0 ，则 a = 0 或 b = 0
B．若 a = 0 ，则 0 或 a 0
解：在 △BCD 中， CBD π ．
由正弦定理得 BC CD ． sin BDC sin CBD
所以
BC
CD sin BDC sin CBD
s·sin sin( )
．
在 Rt△ABC
中，
AB
BC tan ACB
s·tan sin sin( )
．
36．（福建）17．（本小题满分 12 分）
直角坐标系 xOy 中，i，j 分别是与 x，y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 ABC 中，
若 AB 2 i j, AC 3i k j ，则 k 的可能值个数是（ B ）
Ａ．1 （全国Ⅰ3）
Ｂ．2
Ｃ．3
Ｄ．4
已知向量 a (5，6) ， b (6，5) ，则 a 与 b （ A ）
tan( A
B)
1 4 1
3 5
13
1
．又0C来自π，C3 4
π
．
45
（Ⅱ）C 3 ， AB 边最大，即 AB 17 ． 4
又
tan
A
tan
B，A，B
0，
，
角
A
最小，
BC
边为最小边．
由
tan A sin A 1 ，
cos A 4 且
sin2 A cos2 A 1，
A
0，π 2
，
得 sin A
2007 年高考数学试题汇编
平面向量
（北京 4）
已知 O 是 △ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，且 2OA OB OC 0 ，那么
（Ａ）
Ａ． AO OD
Ｃ． AO 3OD
Ｂ． AO 2OD
Ｄ． 2 AO OD
（辽宁 3）
若向量
a
与
b
不共线，
ab
0
，且
( AC
BC)2 2 AC BC 2 AC BC
AB 2
1 2
，
所以 C 60 ．
40．（山东）20（本小题满分 12 分）如图,甲船以每小时 30 2 海里
的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的 北偏西105 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航 行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西120 方
（上海文 6．）
1
若向量
a，b
的夹角为
60
，
a
b
1 ，则 a
a b
2
．
三、解答题：
35．（宁夏，海南）17．（本小题满分 12 分）
如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D ．现 测得 BCD ，BDC ，CD s ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB ．
在 △ABC 中， tan A 1 ， tan B 3 ．
4
5
（Ⅰ）求角 C 的大小；
（Ⅱ）若 △ABC 最大边的边长为 17 ，求最小边的边长．
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运
算能力，满分 12 分．
解：（Ⅰ）C π (A B) ，
tan
C
c
=
a
-
aa ab
b
，则向量
a
与
c
的夹角为（
D
）
A．0
π
B．
6
π
C．
3
π
D．
2
（辽宁 6）
若函数 y f (x) 的图象按向量 a 平移后，得到函数 y f (x 1) 2 的图象，则向量 a =
（ A）
A． (1， 2)
B． (1， 2)
C． (1，2)
D． (1，2)
（宁夏，海南 4）
3
(2) AB (3, 4)
AC (2, 4)
cos A
AABBAACC
6 16 5 20
1 5
sin A 1 cos2 A 2 5 5
39．（浙江）（18）（本题 14 分）已知 △ABC 的周长为 2 1，且 sin A sin B 2 sin C ．
（I）求边 AB 的长； （II）若 △ABC 的面积为 1 sin C ，求角 C 的度数．
Ａ． 3 3
Ｂ． 2 Ｃ． 2
Ｄ． 3 3
（重庆 10）
如题（10）图，在四边形 ABCD 中， AB BD DC 4 ，
AB
BD
BD
DC
4 ， ABBD
BDDC
0，
则
( AB
DC)AC
的值为（
Ｃ
）
DC
A
B
题（10）图
Ａ． 2
Ｂ． 2 2
（上海 14）
Ｃ． 4
Ｄ． 4 2
ABAC
1
．
（陕西 15. ）
如图，平面内有三个向量 OA 、OB 、OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120°，
OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA |＝| OB |＝1，| OC |＝ 2 3 ，若 OC ＝λ OA +
μ OB （λ，μ∈R）,则λ+μ的值为
6.
（天津 15．）
2 （C） AB AC CD