一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(4) 半波镜像信号
A T0/2 0 -A T0 t
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次 谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
说明 ：某些信号波形经上下或左右平移后，
才呈现出某种对称特性
~ x (t )
A
x (t ) 显然满足狄里赫勒的三个条件， 解: 该周期信号 ~ 必然存在傅里叶级数展开式。 n0 A 1 T2 ~ 1 jn t jn t 2
- T0
0

T0
t
Cn
x (t ) 的指数形式傅里叶级数展开式为 因此， ~ n0 jn t A 2π jn0t ~ x (t ) Cn e 0 Sa ( )e

周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为
~ x (t ) Cn e jn0t
n =
1 2 2π j( 2 m 1) 0 t e 0 π 2 2 m= [(2m 1) π] T0
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里 叶级数展开式。
~ x (t )
一、周期信号的傅里叶级数展开
1. 周期信号展开为傅里叶级数条件
周期信号 ~ x (t ) 应满足Dirichlet条件，即：
(1) 在一个周期内绝对可积，即满足

T0 / 2
T0 / 2
~ x (t ) dt
(2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点；
(3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。
1 Cn T0
1 1 0 jn0t jn0t jn0t ~ x ( t ) e d t ( t e d t t e dt ) T0 / 2 0 2 1 T0 / 2
1 (te jn0t 2 jn 0
0 jn0t 0 1 e dt 1
3. 三角形式傅里叶级数
~ 若 x (t )为实函数，则Cn具有共轭偶对称性。即 C n C n
利用此性质可将指数Fourier级数表示写为三角形式
~ x (t ) C0
令
n

1
Cn e jn0t Cn e jn0t C0 Cn e jn0t Cn e jn0t
C2 1
C 3 2
~ x (t )
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
0
T0
T0 x (t )e
2
0
0
dt
T0



Ae
0
dt
2
T0
Sa (
2
)
n =
T0
n =
2
T0
x (t ) 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 ~ 的傅里叶级数展开式。
~ x (t )
A
解: 由于~ x (t ) 为实信号且满足偶对称，故其三角形式 傅里叶级数展开式为 n0 A 2A ~ x (t ) Sa ( ) cosn0t 若 =T0/2，则有
0

T0
t
A / T0
Cn
n0 A Cn Sa ( ) T0 2
2π

2π


n 0
0 2π / T
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C 0 4
C 1 3
n
2. 连续时间非周期信号 1 j t x(t ) X ( j ) e d 2 π 3. 离散非周期信号 1 π jΩ jΩk x[k ] X ( e ) e dΩ 2π π 4. 离散周期信号(周期为N)
1 ~ x [k ] N
m 0

-2 1
0

2

t
解:
由
~ x (t ) C0 2 Re( Cn e jn0t )
n 1
周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为
1 4 ~ x (t ) cos n0t 2 2 m=1 [(2m 1) π]
2π 0 π T0

1 4 4 4 2 cos 0 t 2 cos 3 0 t cos 5 0 t 2 2 π 9π 25π

te
jn0t
1 0

1 jn0t e dt ) 0
1 (cos nπ 1) 2 (nπ)
2π 0 π T0
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里 叶级数展开式。
~ x (t )

-2 1
0

2
t
解:
2 /(nπ) 2 , n为奇数 1 Cn (cos nπ 1) 2 n0 (nπ) 1 / 2,
注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。
一、周期信号的傅里叶级数展开
2. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
~ x (t )
n =
Cn e

jn0t
1 Cn 其中 T0

T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
n 1




an jbn Cn 2
则有
C n
由于C0是实的，所以 b0= 0，故
a0 C0 2
an jbn 2
n 1
将C0 Cn Cn代入上面指数Fourier级数中，即得三角形式
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
a ~ x (t ) 0 (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n1
原点对称周期信号其傅里叶级数展开式中只 含有正弦项。
一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(3) 半波重迭信号
A t
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次 谐波分量，而无奇次谐波分量。
~ x (t )
n =
jn 0 t C e n

不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
x (t ) 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 ~ 的傅里叶级数展开式。
周期信号的傅里叶级数表示 周期信号的频谱 傅里叶级数的基本性质 周期信号的功率谱
连续周期信号的频域分析
为什么进行信号的频域分析？
什么是频域的频谱？
如何进行信号的频域分析？
为什么进行信号的频域分析
进行信号频域分析的意义
1. 连续时间信号(周期为T0) jn0t ~ x (t ) X (n0 ) e
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量 n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
物理含义：
x (t ) 可以分解为不同频率虚指数信号之和 周期信号 ~
一、周期信号的傅里叶级数展开
3 j4 C1 e , 2
3 j4 C1 e 2
Cn 0, n 1
二、周期信号的频谱及其特点
2. 频谱的表示
直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图 形，这种图形称为信号的频谱图。
Cn Cn e
jn
幅度频谱
相位频谱
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
~ x (t )
A
- T0

0
~ x (t ) cos(n0t )dt
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含 有直流项与余弦项。
一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(2) 原点对称信号
A
T0 / 2
T0 / 2
~ x (t ) ~ x (t )
~ x (t )
0 T0 / 2 -A
t
2 ~ x (t ) cos(n0t )dt 0 T0 T0 / 2 2 T0 / 2 ~ 4 T0 / 2 ~ bn x (t ) sin(n0t )dt x (t ) sin(n0t )dt T0 / 2 0 T0 T0 an
3. 三角形式傅里叶级数
纯余弦形式傅里叶级数 a ~ x (t ) 0 An cos （n0t n ） 2 n1 其中
An a b
2 n 2 n
bn n arctg a n

a0/2称为信号的直流分量， An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
例3
~ x (t ) 3 cos(0t 4)
求 Cn 。
x (t ) 3 cos(0t 4) 解: ~
1 j(0t 4) j(0t 4) 3 e e 2 3 j4 j0t 3 j4 j0t e e e e 2 2


根据指数形式傅里叶级数的定义可得
~ X [m]
N 1
e
j
2π mk N