相似三角形综合复习一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比B二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.例2.如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，•这个正方形零件的边长是多少？例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由．例6.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？三．适时训练（一）选择题1．梯形两底分别为m 、n ，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A ）mn n m + （B ）n m mn +2 （C ）n m mn + （D ）mnnm 2+ 2．如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则（ ） （A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD （C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD题2 题4 题53．P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条4．如图，∠ABD ＝∠ACD ，图中相似三角形的对数是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55．如图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ）（A ）∠APB ＝∠EPC （B ）∠APE ＝90°（C ）P 是BC 的中点（D ）BP ︰BC ＝2︰3 6．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且有下列条件： （1）∠B ＋∠DAC ＝90°；（2）∠B ＝∠DAC ；（3）AD CD ＝ABAC；（4）AB 2＝BD ·BC 其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ）（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个题6 题7 题87．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论中错误的是（ ）（A ）AE ⊥AF （B ）EF ︰AF ＝2︰1（C ）AF 2＝FH ·FE （D ）FB ︰FC ＝HB ︰EC 8．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有（ ）（A ）△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周长 （B ）△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积 （C ）△ABE ∽△DEC （D ）△ABE ∽△EBC9．如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，DE ︰CE ＝2︰3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ︰S △EBF ︰S △ABF 等于（ ）（A ）4︰10︰25 （B ）4︰9︰25 （C ）2︰3︰5 （D ）2︰5︰25题9 题10 题1110．如图，直线a ∥b ，AF ︰FB ＝3︰5，BC ︰CD ＝3︰1，则AE ︰EC 为（ ）．（A ）5︰12 （B ）9︰5 （C ）12︰5 （D ）3︰2 11．如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝41AB ，连结EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC ︰CD 为（ ）（A ）2︰1 （B ）3︰2 （C ）3︰1 （D ）5︰212．如图，矩形纸片ABCD 的长AD ＝9 cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为（ ）（A ）4 cm 、10 cm （B ）5 cm 、10 cm （C ）4 cm 、23 cm （D ）5 cm 、23 cm题12（二）填空题13．已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是_____cm ，a ＋b 与a －b 的比例中项是_____cm ． 14．若c b a +＝a c b +＝bca +＝－m 2，则m ＝______． 15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝27，D 在AC 上，且BD ＝BC ＝18，DE ∥BC 交AB 于E ，则DE ＝_______． 16．如图，□ABCD 中，E 是AB 中点，F 在AD 上，且AF ＝21FD ，EF 交AC 于G ，则AG ︰AC ＝______．题16 题17 题18 17．如图，AB ∥CD ，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC ，P 是AB 上一点，连结CP ，要使△ACP ∽△ABC ，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15，AF ＝4，则DE 的长等于________．题19 题20 题2120．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，AE ＝EC ，AD ＝18，BE ＝15，则△ABC 的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝8，BC ＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD ∥EF ∥BC ，且AE ＝2EB ，AD ＝8 cm ，AD ＝8 cm ，BC ＝14 cm ，则S 梯形AEFD ︰S 梯形BCFE ＝____________．(三)解答题23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24. 如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 为BC 中点，延长AC 、DE 相交于点F ，求证BC AC ＝DFAF．25. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 至D ，使得CD ＝BC ，CE ⊥BD 交AD 于E ，连结BE 交AC 于F ，求证AF ＝FC ．26. 已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD ．求证：AB AE ＋CDCG＝1．27. 如图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H ，求证：（1）DG 2＝BG ·CG ；（2）BG ·CG ＝GF ·GH ．28. 如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ．（1）当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，△ABC ∽△CDB ？（2）过A 作BD 的垂线，与DB 的延长线交于点E ，若△ABC ∽△CDB ． 求证四边形AEDC 为矩形（自己完成图形）．29. 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连结FC（AB ＞AE ）．（1）△AEF 与△EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设BCAB＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF ∽△BFC ，若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由．30. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，CA ＝8 cm ，动点P 从点C 出发，以每秒2 cm 的 速度沿CA 、AB 运动到点B ，则从C 点出发多少秒时，可使S △BCP ＝41S △ABC ？31. 如图，小华家（点A 处）和公路（L ）之间竖立着一块35m•长且平 行于公路的巨型广告牌（DE ）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC ．一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段BC 的时间是3s ，已知广告牌和公路的距离是40m ，求小华家到公路的距离（精确到1m ）．32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，试问：△AOB 和△DOC 是否相似？ 某学生对上题作如下解答：答：△AOB ∽△DOC ．理由如下：在△AOB 和△DOC 中，∵AD ∥BC ，∴AO DOOC OB=， ∵∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．33. 如图：四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，①过C 作对角线BD 的垂线交BD 、AD 于点E 、F ，求证：DA DF CD ⋅=2；②如图：若过BD 上另一点E 作BD 的垂线交BA 、BC 延长线于F 、G ，又有什么结论呢？你会证明吗？ABCD FEABCDF EG34. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下 2.7m 宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35. （1）如图一，等边△ABC 中，D 是AB 上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连结AE 。