例 3 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
2x

x
0
f
(t )dt

1在[0,1]上只有一个解.
证
令
x
F (x)2x0f(t)d t1 ,
f(x)1, F ( x ) 2 f( x ) 0 ,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0 ) 10 ,
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x

1. 2e
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§4. 定积分的计算
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
x
证明函数F ( x)

0 tf
x
(t )dt
在(0,)内为单调增
0 f (t)dt
证:
0 b (x )
F (x ) f( t) dt
a (x ) 0

b(x)
f(t)dt
a(x)
f(t)d,t
0
0
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
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§4. 定积分的计算
例1
1 e t 2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是 0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2dt d coxset2d,t
dx cosx
dx1
eco2x s(cox)s six neco2x s,
1 et2dt
原式 2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)

2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn cots0 2
4
.
Yunnan University
2

2 co5sxsinxdx 0

0t5dt 1

t6 1

6
1. 6
0
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§4. 定积分的计算
例10 计算 a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解 令 xasitn , d xaco tds , t
xa t , x0t0,
2

F(1)101f(t)dt01[1f(t)d] t 0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
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§4. 定积分的计算
基本公式 如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间
[a, b]上的一个原函数，则
b
a
f
(
x)dx

F
(b)

§4. 定积分的计算
补充 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，则
F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F( x)为 a( x)
F(x) d b(x) dx a(x)
f(t)dt
fb (x )b (x ) fa (x )a (x )
f
( x)dx中令 x

t ,
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§4. 定积分的计算
0
a
f(x)dxa0f(t)dt0a
f
(t)dt,
① f ( x)为偶函数，则 f(t)f(t),
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )dx
a
20 f(t)d;t
加函数.
证
dx
dx0
tf
(t)dtxf(x),
dx
dx0
f
(t)dtf(x),
x
x
F(x)x(fx)0
f(t)d tf(x)0tf(t)dt 0xf(t)d2 t
Yunnan University
§4. 定积分的计算
x
F(x)f(x)0x(xt)f2(t)dt,
0 f(t)dt
f( x ) 0 ,( x 0 )
x
0
f(t)dt0,
(x t)f(t) 0 , 0x(xt)f(t)d t0,
F (x ) 0(x 0 ).
故F ( x)在(0,)内为单调增加函数.
Yunnan University
§4. 定积分的计算
§4. 定积分的计算
例11 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a a
f
( x)dx

2 a 0
f
( x)dx ；
②
f
( x)为奇函数，则
a a
f
( x)dx

0.
证
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 a
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
注意
当a

b
时，
b
a
f
(
x)dx

F
(b)

F
(a)仍成立.
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§4. 定积分的计算
F (x)a xf(t)d tC ,
x
af(t)d tF (x )F (a ), 令 xba bf(x )d x F (b )F (a ).
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§4. 定积分的计算
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x)d x F (b )F (a)
F

证 (x x)a x xf(t)dyt
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
oa
x xxb x
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§4. 定积分的计算
a xf( t) d t x x xf( t) d a txf( t) dt
x | 1 l1 n l2 n l2 . n 2
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A

sinxdx
0
y
cos x 2. o 0
x
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§4. 定积分的计算
二 定积分的换元公式 定理 假设
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
f()x, 在 x与 x o x之 a间 . x xxb x
f (), lim lim f()
x
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
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f[ (t) ] (t) d t( ) ( ),
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§4. 定积分的计算
( ) a、 ( ) b,
() () F [() ]F [( )]
F (b)F (a),
abf(x)dxF(b)F(a) () ()
F
(a).
证 已知F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f (t)dt也是
f ( x)的一个原函数,
F (x ) (x ) C x[a,b]
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§4. 定积分的计算
令 xa F ( a ) ( a ) C ,
(a)a af(t)d t0 F (a)C ,
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在
[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
则有
b
a
f ( x)dx



f [ (t)] (t)dt .
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
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§4. 定积分的计算
例 13 若 f ( x) 在 [0,1] 上 连 续 ， 证 明
§4. 定积分的计算
一 定积分计算的基本公式
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点，考察定积分
x
a
f
(x)dxax
f (t)dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对
于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
② f ( x)为奇函数，则 f( t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )d0x .