创新题型
1、给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离． 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．
（1）点A 的坐标为(1,0)A ，则点(2,3)B 和射线OA 之间的距离为________，点(2,3)C -和射线OA 之间的距离为________；
（2）如果直线y =x 和双曲线k
y x
=之间的距离为2，那么k = ；（可在图1中进行研究）
（3）点E 的坐标为(1,3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60，得到射线OF ，在坐标平面所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ．
①请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以
用阴影表示）
②将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22-=x y 与图形M 的公共部分记
为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．
2、 设点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离.例如正方形ABCD 满足A (1，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (1，1)，那么点O (0，0)到正方形ABCD 的距离为1.
（1）如果⊙P 是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O (0，0)到⊙P 的距离为 ；
（2）①求点(3,0)M 到直线21y x =+的距离；
②如果点(0,)N a 到直线21y x =+的距离为3，那么a 的值是 ；
（3）如果点(0,)G b 到抛物线2
y x =的距离为3，请直接写出b 的值.
3、在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴
的另一个交点为E ．给出如下定义：若线段OE ，⊙A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形（点,,,A B C D 顺时针排列），则称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．
例如,下图中的矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．
（1）若点(1,2)A -，四边形ABCD 为直线1x =-的“理想矩形”，则点D 的坐标
为 ；
（2）若点(3,4)A ，求直线1y kx =+(0)k ≠的“理想矩形”的面积； （3）若点(1,3)A -，直线l 的“理想矩形”面积的最大值为 ，此时点D 的
坐标为 ．
4、在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如
点（1，1），
(31-，3
1
-)，(2-，2-)，…，都是和谐点． （1）分别判断函数12+-=x y 和12
+=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出
其和谐点的坐标；
（2）若二次函数)0(42
≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(
23，2
3
)，且当m x ≤≤0时，函数)0(4
3
42
≠-++=a c x ax y 的最小值为－3，最大值为1，求m 的取值围．
（3）直线2:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交于点D ，与反比例函数x
n
y G =
：的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为1，且23<+DN DM ，请直接写出n 的取值围．
5、【探究】如图1，点()N m,n 是抛物线2
1114
y x =
-上的任意一点，l 是过点()02,-且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为H .
①计算: m=0时，NH= ; m =4时，NO = . ②猜想: m 取任意值时，NO NH (填“＞”、“＝”或“＜”).
【定义】我们定义：平面到一个定点F 和一条直线l （点F 不在直线l 上）距离相等的
点的集合叫做抛物线，其中点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O 即为抛物线1y 的“焦点”，直线l :2y =-即为抛物线1y 的“准线”.可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上.
【应用】（1）如图2，“焦点”为F (-4，-1)、“准线”为l 的抛物线()2
21+44
y x k =
+与y 轴交于点N （0，2），点M 为直线FN 与抛物线的另一交点.MQ ⊥l 于点Q ，直线l 交y 轴于点H .
①直接写出抛物线y 2的“准线”l ： ；
②计算求值：1MQ +1
NH
=；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别
交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），直线y = 3
3
x +n 与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、
x 轴为“准线”的抛物线23y ax bx c =++的表达式.
图2
图3
图1
6、设a ,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值
的全体叫做闭区间，表示为[a ,b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ,我们就称此函数是闭区间[m .n ]上的“闭函数”．如函数4y x =-+，当x =1时，y =3；当x =3时，y =1，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函数4y x =-+是闭区间[1,3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y =
x
2015
是闭区间[1,2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若二次函数y =2
2x x k --是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k 的值； （3）若一次函数y =kx +b (k ≠0)是闭区间[m ,n ]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用
含m ，n 的代数式表示）．
7、对某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.例如,平面到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，A(0，2)，B是x轴上一动点，当点B 在x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C运动形成的轨迹是直线DE，且DE⊥x轴于点G.则直线DE的表达式是 .
（2）当△ABC是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C形成的轨迹也是一条直线.
①当点B运动到如图2的位置时，AC∥x轴，则C点的坐标是 .
②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.
③设②中这条直线分别与x,y轴交于E,F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线
段OF上运动，（不与O、F重合），且CH=CE,则CE的取值围是 .
备用图1 备用图2
x
y
A
O x
y
A
O
8、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2
+bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m
与x 轴平行，且与抛物线交于点A 和点B ，如果△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M 称为碟顶，线段AB 的长称为碟宽．
（1）抛物线212
y x
的碟宽为 ，抛物线y =ax 2
（a ＞0）的碟宽为 ． （2）如果抛物线y =a (x －1)2
－6a （a ＞0）的碟宽为6，那么a = ．
（3）将抛物线y n =a n x 2
+b n x +c n （a n ＞0）的准蝶形记为F n （n =1，2，3，…），我们
定义F 1，F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果F n 与F n -1的相似比为1
2
，且F n 的碟顶是F n -1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1．
① 求抛物线y 2的表达式；
② 请判断F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直
线的表达式；如果不是，说明理由．
9、如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，3)、B (6，3)，连结AB .若对于平面一点
P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，则称点P 是线段AB 的“邻近点”．
（1）判断点D 719
(,)55
，是否线段AB 的“邻近点”____________（填“是”或“否”）；
（2）若点H (m ，n )在一次函数1-=x y 的图象上，且是线段AB 的“邻近点”，求m
的取值围．
（3）若一次函数y x b =+的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b 的取值围.。