《高观点下的几何学》练习题参考答案一一、填空题。

1．公理法的三个基本问题是（相容性问题）、（独立性问题）和（完备性问题）。

2．公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述）、（公理的叙述）和（定理的叙述和证明）。

3．仿射变换把矩形变成平行四边形4．仿射变换把平行线变成平行线5．仿射变换把正三角形变成三角形二、简答题。

1．试给一个罗氏几何的数学模型。

答：罗氏几何的（Cayley-F.kLein）模型在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。

罗氏平面几何的原始概念解释成：罗氏点：圆内的点；罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）。

结合关系：圆内原来的点和线的结合关系；介于关系：圆内弦上三点的介于关系；运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。

罗氏平行公理（在罗氏平面上）通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。

2．试给一个黎曼几何的数学模型答：黎曼几何的（F.KLein）模型黎曼几何的原始概念解释成：黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点；黎氏直线：球面上的大圆；黎氏平面：改造后的球面。

黎氏点与黎氏直线的基本关系：(1)通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线；(2)通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；(3)每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。

黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。

3．简述公理法的基本思想。

答：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。

全部元素的集合构成了这种几何的空间。

在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。

4．简述公理系统的独立性答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理系统中是独立的。

如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。

5．试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：众所周知，欧几里得《几何原本》是演绎体系的里程碑，虽然它不尽完善，但它确实是建立科学演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对《几何原本》的研究过程发现，它的第五公设的内容不象前四条公设叙述的那么简单，同时它又是在第二十九条命题之后才出现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系，只是平行公理不同。

6．简述公理系统的完备性。

答：如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。

7．简述公理系统的相容性。

答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的所有构成要素是无矛盾的。

任何一个公理系统都要满足无矛盾性。

证明公理系统的相容性常用的方法是模型法。

三、选择题。

1．三角形内角和等于180度与（ A ）A 欧氏平行公理等价B 罗氏平行公理等价C 椭圆几何平行公设等价D 不可判定2．欧氏几何与非欧几何的本质区别为（ A ）A 平行公设不同B 结合公理相同C 绝对公设不同D 结合公理不同3．设点,,A B C 共线，且在仿射变换下分别变成',','A B C ，则',','A B C 三点（ A ）A ．共线B ．三角形顶点C ．可能不共线D ．可能重合 4．正方形在仿射变换下变成（ B ）A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 5．正方形的下列性质中哪些是仿射的( 1，4 )（1）对边平行； （2）四角相等；（3）四边相等；（4）对角线互相平分； （5）对角线互相垂直；（6）角被对角线平分；（7）对角线相等；（8）面积 6．在仿射对应下，哪些量不变？（ C ，D ）A ．长度B ．角度C ．单比D ．交比四、计算与证明题。

1．求出将点(3,1)变成点(1,3)-的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线28180y x y --+=上。

解：设所求的旋转变换为'cos sin 'sin cos x x y y x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩ 则 2πθ=于是所求的旋转变换为''x y y x =-⎧⎨=⎩ 即''x y y x =⎧⎨=-⎩将此变换用于所给的抛物线得2'8''180x x y +-+=。

2． 试确定仿射变换，使y 轴、x 轴的象分别为直线10x y ++=和10x y --=，且点(1,1) 的象为原点。

解：所求变换的公式为111222''''x x y y x y αβγαβγ=++⎧⎨=++⎩ 其中 11220αβαβ≠ 则0x =变成直线111''0x y αβγ++=但由题设0x =变成''10x y ++=可知，111''0x y αβγ++=与''10x y ++=表示同一直线。

所以1111111hαβγ===因此 ''1hx x y =++同理 ''1ky x y =--此处,h k 是参数。

又因为点（1，1）的象为原点，于是1,1h k ==-，所以，所求变换的逆式为''1(''1)x x y y x y =++⎧⎨=---⎩由此得出所求的仿射变换为'22'122x y x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩3．求出将点(2,3)变成点(0,1)-的平移变换，在这个平移变换下，抛物线28180y x y --+=变成什么曲线？ 解：设所求的平移变换为''x x ay y b=+⎧⎨=+⎩ 将已知对应点的坐标代入上式得0213ab =+⎧⎨-=+⎩于是 2, 4a b =-=-所以所求的平移变换为 '2'4x x y y =-⎧⎨=-⎩ 即 '2'4x x y y =+⎧⎨=+⎩将此变换用于所给的抛物线上2('4)('2)8('4)180y x y +-+-++=即2''0y x -=4．求仿射变换'71'424x x y y x y =-+⎧⎨=++⎩的二重直线。

解： 设所求的不变直线为0Ax By C ++= （,A B 不同时为0）即在所给的变换下，0Ax By C ++=对应''0Ax By C ++= 因为''(71)(424) (74)(2)(4)Ax By C A x y B x y C A B x A B y A B C ++=-+++++=++-++++所以 74 (1)2 (2)4 (3)A B A A B B A B C C λλλ+=-+=++=消去,,A B C 得7401200141λλλ---=-展开化简得(1)(7)(2)4(1)0λλλλ---+-=解得1,3,6λ=由于当1λ=时，0A B ==，因此不对应不变直线，分别将3,6λλ==代入（1），（2），（3）得3, 2A B C B =-=和 4, 0A B C =-= 所以不变直线为2230x y --= 和 40x y -=5．证明，直线0Ax By C ++=将两点111(,)P x y 与222(,)P x y 的连线段分成的比是1122Ax By CAx By C++-++。

6．求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线。

证明： 设二直线1l 和2l 交于P 点，P 点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为'1l 和'2l ，则P 点对应无穷远点。

由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是'1l 和'2l 的交点，即无穷远点，也就是'1l ∥'2l 。

二一、填空题。

1．设共线三点()0,2,(2,0),(1,1)A B C ，则()ACB = 22．如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ 共线或平行 ），夹角为（ 0π或 ）。

3．空间中三个向量线性相关当且仅当它们（ 共面 ），空间中的四个向量一定（ 线性相关 ） 4．设a 与b 是两个非零向量，若a 与b 线性相关，则()0a b ⨯=。

5．已知向量{}{}123123,,,,,a x x x b y y y ==，则a 与b 之间的内积()112233a b x y x y x y ⋅=++。

二、选择题。

1．下列性质或量中哪些是仿射的( 1，3，4，8 )（1）线段的中点； （2）角的平分线；（3）交比； （4）点偶的调和共轭性（5）角度 （6）三角形的面积（7）两相交线段的比（8）两平行线段的比（9）对称轴 （10）对称中心2．设a 与b 是两个非零向量，若0a b ⋅=，则（ B ）。

()A a 与b 平行 ()B a 与b 垂直 ()C a 与b 线性相关 ()D a 与b 的夹角为π3．设a 与b 是两个非零向量，则下列结论正确的是（ A ）。

()A a b a b ⋅≤ ()B a b a b ⋅= ()C a b a b ⋅≥ ()D a b a b ⋅>4．下列说法错误的是（ B ，C ）A ．平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；B ．平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直C ．平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行D ．平面上的三个向量一定线性相关 5．设a 与b 是两个非零向量，若0a b ⨯=，则（A ，C ）()A a 与b 平行 ()B a 与b 交角为锐角。

()C a 与b 线性相关 ()D a 与b 的夹角为2π三、计算与证明题。

1．设平面上的点变换1σ和2σ分别由⎩⎨⎧-+='++='15232:1y x y y x x σ和⎩⎨⎧+='-='2:2x y yx x σ表示，求 12(1) σσ；11(2) σ-；21(3) σσ； 12(4) σ-。

解：（１） 12()2(2)32()5(2)1x x y x y x y x σσ''=-+++⎧=⎨''=-++-⎩即1237729x x y y x y σσ''=-+⎧=⎨''=-+⎩（２）若求11σ-，只需从1σ中求出x,y 即可。