2020年山东省济南市高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2}，B={y|y=x3，x∈A}，则A∩B=（）A. {0}B. {1}C. {0，1}D. {0，1，2，8}2.已知复数z=（其中i为虚数单位），则|z|的值为（）A. B. C. D.3.2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为（）A. B. C. D.4.已知双曲线=1的一个焦点F的坐标为（-5，0），则该双曲线的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±x5.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是（）A. 该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半B. 该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当C. 该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍D. 该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍6.在△ABC中，AC=，BC=，cos A=，则△ABC的面积为（）A. B. 5 C. 10 D.7.执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2019，则输出的y值为（）A.B.C.D. 18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是（）A. B. 27π C. 9π D. 108π9.已知函数f（x）=cos（2x-）++1，则f（x）的最大值与最小值的和为（）A. 0B. 1C. 2D. 410.已知α∈（），若sin2α=，则cosα=（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=，则f（3-x2）＞f（2x）的解集为（）A. （-∞，-3）∪（1，+∞）B. （-3，1）C. （-∞，-1）∪（3，+∞）D. （-1，3）12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，已知曲线C：y=x2，直线l为曲线C在点（1，1）处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得到的几何体为Γ．给出以下四个几何体图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与Γ的体积相等的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量，满足=（1，），⊥（-），的值为______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是______．15.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为______．16.设F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B为椭圆的下顶点，P为过点F1，F2，B的圆与椭圆C的一个交点，且PF1⊥F1F2，则的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的前n项和为,且．求数列的通项公式；设,数列的前n项和为,求的最小值及取得最小值时n 的值．18.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=45°，AB=2CD=4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥P-EBCD，点M为棱PB的中点．（1）求证：PD∥平面MCE；（2）若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M-BCE的体积．19.已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）与椭圆C2：=1有一个相同的焦点，过点A（2，0）且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M．（1）求抛物线C1的方程；（2）试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．20.某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换3个一级滤芯就需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换，其中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为M．如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图．（1）结合如图，写出集合M；（2）根据以上信息，求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元的概率（以100台净水器更换二级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率）；（3）若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受5折优惠（使用过程中如需再购买无优惠）．假设上述100台净水器在购机的同时，每台均购买a个一级滤芯、b个二级滤芯作为备用滤芯（其中b∈M，a+b=14），计算这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数．并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？21.设函数（）（1）讨论的单调性；（2）若，试判断的零点个数.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）射线OP的极坐标方程为θ=，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．23.已知函数f（x）=|x-2|+|2x-1|．（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若不等式f（x）≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={0，1，2}，B={y|y=x3，x∈A}={0，1，8}，∴A∩B={0，1}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：∵z=，∴|z|=||=．故选：D．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：解：小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，基本事件总数n=，小王被选中包含的基本事件个数m==3，则小王被选中的概率为p=．故选：B．基本事件总数n=，小王被选中包含的基本事件个数m==3，由此能求出小王被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题.利用已知条件求出m，然后求解双曲线的渐近线方程即可．【解答】解：双曲线=1的一个焦点F的坐标为（-5，0），可得=5，解得m=16，双曲线=1的渐近线方程为：y=±x．故选：A．5.答案：C解析：【分析】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属中档题.先对折线图信息理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解.【解答】解：由折线图可知：不妨设2014年全年的收入为t，则2018年全年的收入为2t，对于选项A，该家庭2018年食品的消费额为0.2×2t=0.4t，2014年食品的消费额为0.4×t=0.4t，故A错误，对于选项B，该家庭2018年教育医疗的消费额为0.2×2t=0.4t，2014年教育医疗的消费额为0.2×t=0.2t，故B错误，对于选项C，该家庭2018年休闲旅游的消费额是0.25×2t=0.5t，2014年休闲旅游的消费额是0.1×t=0.1t，故C正确，对于选项D，该家庭2018年生活用品的消费额是0.3×2t=0.6t，该家庭2014年生活用品的消费额是0.15×t=0.15t，故D错误，故选C．6.答案：A解析：解：∵AC=，BC=，cos A=，∴sin A==，∴由余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB•AC•cos A，可得：10=5+AB2-2×AB×，整理可得：AB2-4AB-5=0，∴解得：AB=5，或-1（舍去），∴S△ABC=AB•AC•sin A==．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，根据余弦定理可求AB的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：2019=4×504+3，即当x=3时，满足条件x≥0，则x=3-4=-1，此时不满足条件．x≥0，输出S=，故选：C．根据查询框图，得到当x=-1时查询终止，进行计算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，结合程序，得到终止条件是解决本题的关键．8.答案：B解析：解：由题意可知几何体是正方体的一部分，四棱锥P-ABCD，四棱锥的外接球就是正方体的外接球，外接球的半径为：=．该几何体外接球的表面积是：4π×（）2=27π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图是数据转化求解外接球的半径，推出外接球的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，考查转化思想以及计算能力．9.答案：C解析：解：函数f（x）=cos（2x-）++1=cos（-2x）++1=sin2x++1，设函数g（x）=sin x+，x∈R，则g（-x）=sin（-x）+=-sin x-=-g（x），∴g（x）是R上的奇函数，设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为-M，∴f（x）的最大值为M+1，最小值为-M+1，∴（M+1）+（-M+1）=2，即f（x）的最大值与最小值的和为2．故选：C．化简函数f（x），知f（x）=g（x）+1，其中g（x）是R上的奇函数，且g（x）的最大值与最小值的和为0，由此求出f（x）的最大值与最小值的和．本题考查了函数的奇偶性与最值应用问题，是基础题．10.答案：D解析：解：∵α∈（），若sin2α===，∴tanα=2，或tanα=（不合题意，舍去），故α∈（，），则cosα===，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得tanα的值，可得cosα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．11.答案：B解析：解：当x＜0时，f（x）=x3-x2的导数为f′（x）=x2-x＞0，即f（x）在x＜0递增；当x≥0时，f（x）=e x递增，且0＜e0，可得f（x）在R上递增，由f（3-x2）＞f（2x）可得3-x2＞2x，解得-3＜x＜1，则原不等式的解集为（-3，1）．故选：B．讨论x＜0，x≥0函数f（x）的单调性，可得f（x）在R上递增，由单调性的定义，解二次不等式可得所求解集．本题考查分段函数的单调性的判断和运用，考查不等式的解法，以及运算能力，属于基础题．12.答案：A解析：解：设直线y=t，与y=x2交于（，t），0≤t≤1，切线的斜率为2，切线方程为y=2x-1，y=t与y=2x-1交于（，t），用平行于底面的平面截几何体Γ所得的截面为圆环，截面面积为π（-t）=π•，对于图①，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到圆的截面，且圆的半径为（t-1），可得截面面积为π•，符合题意；对于图②，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环，截面积为大圆面积去掉一个小圆面积，且面积为π-πt2，不符合题意；对于图③，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到正方形截面，不符合题意；对于图④，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环，且面积为π•（）2-πt2=，不符合题意．综上可得四个几何体中与Γ的体积相等的是图①．故选：A．求得切线方程，设直线y=t，求得与切线的交点和抛物线的交点，可得截面面积，分别用平行于下底面且距离为t的平面截四个几何体，求得截面面积，由祖暅原理，可得结论．本题考查祖暅原理的理解和运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．13.答案：4解析：解：平面向量，满足=（1，），⊥（-），可得-=0，解得=4．故答案为：4．利用向量的数量积通过向量的垂直，化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查计算能力．14.答案：-8解析：【分析】本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义，属于基础题.作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，由题意可得，当y=-2x+z经过点A时，z最小，由可得A（-6，4），此时z=-8．故答案为：-8．15.答案：1解析：【分析】本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得•=+，∴ω=2，再根据五点法作图可得2•+φ=kπ，求得φ=-，∴函数f（x）=2sin（2x-），∴f（）=2sin（-）=2sin=2sin=1，故答案为：1．16.答案：解析：解：如图所示，连接PF2交y轴于点C，∵PF1⊥F1F2，∴PF2为过点F1，F2，B的圆的直径．∵点O为F1F2的中点，OC∥PF1．∴点C为PF2的中点，即为过点F1，F2，B的圆的圆心．∵P（-c，）．∴|OC|=．∴圆的半径r=+b．又|PF2|=，∴+b=，化为：+-1=0，解得：=．故答案为：．如图所示，连接PF2交y轴于点C，由PF1⊥F1F2，可得PF2为过点F1，F2，B的圆的直径．由OC∥PF1．点C为PF2的中点，即C为过点F1，F2，B的圆的圆心．根据椭圆的定义、三角形中位线定理与圆的半径即可得出．本题考查了椭圆的定义、三角形中位线定理、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：（1）数列{a n}满足S n=2a n-2，①当n=1时，有S1=2a1-2=a1，变形可得a1=2，当n≥2时，有S n-1=2a n-1-2，②，①-②可得：a n=2a n-2a n-1，变形可得：a n=2a n-1，则数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列，故a n=2n，（2）根据题意，b n=2log2a n-11=2log22n-11=2n-11，当n=1时，b1=2-11=-9，数列{b n}为等差数列，且首项b1=-9，公差d=2；则T n===n2-10n，则当n=5时，T n取得最小值，且其最小值为-25．解析：（1）根据题意，由S n=2a n-2，令n=1可得a1的值，进而可得n≥2时，有S n-1=2a n-1-2，两式联立分析可得a n=2a n-1，则数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列，据此分析可得答案；（2）根据题意，b n=2log2a n-11=2log22n-11=2n-11，即可得{b n}为等差数列，结合等差数列的前n项和公式分析可得T n，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查数列的递推公式，涉及数列的前n项和的性质，关键是求出数列{a n}的通项公式．18.答案：证明：（1）在图（1）中，∵BE==CD，且BE∥CD，∴四边形EBCD是平行四边形，在图2中，连结BD，交CE于点O，连结OM，∴O是BD的中点，又∵点M是棱PB的中点，∴OM∥PD，∵PD⊄平面MCE，OM⊂平面MCE，∴PD∥平面MCE．解：（2）在图1中，∵EBCD是平行四边形，∴DE=BC，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，∴AD=DE，∵∠BAD=45°，∴AD⊥DE，在图2中，PD⊥DE，又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD=DE，PD平面PDE,∴PD⊥平面EBCD，由（1）知OM∥PD，∴OM⊥平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，∵AE=2，∴AD=DE=，∴OM=，∵S△BCE=S△ADE=1，∴三棱锥M-BCE的体积V M-BCE=．解析：本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）推导出四边形EBCD是平行四边形，连结BD，交CE于点O，连结OM，推导出OM∥PD，由此能证明PD∥平面MCE．（2）推导出DE=BC，AD=BC，AD=DE，从而AD⊥DE，再由PD⊥DE，得PD⊥平面EBCD，从而OM⊥平面EBCD，由此能求出三棱锥M-BCE的体积．19.答案：解：（1）由题意可得抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为（1，0），所以p=2，故抛物线的方程为y2=4x，（2）因为点P关于x轴的对称点为M，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1，-y1），设直线PQ的方程为y=k（x-2），代入y2=4x得k2x2-4（k2+1）x+4k2=0，∴x1x2=4，设直线MQ的方程无y=mx+n，代入y2=4x得m2x2-（2mn-4）x+n2=0，∴x1x2==4，∵x1＞0，x2＞0，∴=2，即n=2m，∴直线MQ的方程为y=m（x+2），故过定点（-2，0）．解析：（1）根据椭圆的性质和抛物线的定义即可求出，（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1，-y1），设直线PQ的方程为y=k（x-2），根据韦达定理可得x1x2=4，设直线MQ的方程无y=mx+n，再根据韦达定理可得x1x2==4，即可求出直线MQ过定点本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，直线方程的应用及一定的逻辑推理与运算的能力20.答案：解：（1）由题意知，当一级滤芯更换9，10，11个时，二级芯需要更换3个，当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，∴M={3，4}．（2）由题意得二级滤芯更换3个，需1200元，二级滤芯更换4个，需1600元，有100台净水器中，二级滤芯需要换3个的有70台，二级滤芯需要更换4个的有30台，设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元”为事件A，∴P（A）==0.3．（3）∵a+b=14，b∈M，（i）若a=10，b=4，则这100台净水器在更换滤芯上所需要的平均费用为：=2000．（ii）若a=11，b=3，则这100台净水器在更换滤芯上所需要的平均费用为：=1880，∴如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14个，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个．解析：（1）当一级滤芯更换9，10，11个时，二级芯需要更换3个，当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，由此能求出M．（2）由题意得二级滤芯更换3个，需1200元，二级滤芯更换4个，需1600元，有100台净水器中，二级滤芯需要换3个的有70台，二级滤芯需要更换4个的有30台，设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元”为事件A，利用古典概型能求出P（A）．（3）a+b=14，b∈M，当a=10，b=4，求出这100台净水器在更换滤芯上所需要的平均费用为2000；a=11，b=3，求出这100台净水器在更换滤芯上所需要的平均费用为1880，由此临到如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14个，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个．本题考查集合、概率、采购方案的求法，考查频率分布直方图、古典概型、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.答案：解：（1）∵f（x）=（x-1）2-x+ln x（a＞0），定义域（0，+∞），∴f′（x）=a（x-1）-1+=，①当0＜a＜1时，令f′（x）＞0可得，x＞或x＜1，令f′（x）＜0可得，，∴函数f（x）单调递增区间（），（0，1），单调递减区间（1，）；②a=1时，f°（x）＞0恒成立，故函数在（0，+∞）上单调递增；③当a＞1时，令f′（x）＞0可得，x＜或x＞1，令f′（x）＜0可得，，∴函数f（x）单调递增区间（1，+∞），（-∞，），单调递减区间（，1）；（2）若1＜a＜e，由（1）知函数f（x）在（1，+∞），（0，）单调递增，在（，1）单调递减，∵f（1）=-1＜0，f（）=，令g（a）=，1＜a＜e，则=＞0恒成立，∴g（a）在（1，e）上单调递增，∴g（1）＜g（a）＜g（e）＜0，即f（）=＜0，∵x→0，f（x）→-∞，x→+∞时，f（x）→+∞，∴函数的图象与x轴只有一个交点即f（x）的零点个数为1．解析：（1）先对函数进行求导，然后对a进行分类讨论即可求解函数的单调区间；（2）由（1）知函数f（x）在（1，+∞），（0，）单调递增，在（，1）单调递减，然后判断出f（1）=-1＜0，f（）=＜0及x→0，f（x）→-∞，x→+∞时，f（x）→+∞，即可判断．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及利用函数的单调性判断函数的零点个数，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性．22.答案：解：（1）由消去参数θ得x2+（y-1）2=3，由ρsin（θ+）=2得ρ（sinθ+cosθ）=2，所以x+y-4=0；（2）曲线C的方程可化为x2+y2-2y-2=0，所以曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ-2=0，由题意设A（ρ1，），B（ρ2，），将θ=代入ρ2-2ρsinθ-2=0，可得ρ12-ρ1-2=0，所以ρ1=2或ρ1=-1（舍去），将θ=代入ρsin（θ+）=2，可得ρ2=4，所以|AB|=|ρ1-ρ2|=2．解析：（1）消去参数θ可得曲线C的普通方程，根据互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程，根据极径的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）由题意值f（x）=，当x≤时，由f（x）≤3得-3x+3≤3，得x≥0，即0≤x≤，当＜x＜2时，由f（x）≤3得x+1≤3，得x≤2，即＜x＜2，当x≥2时，由f（x）≤3得3x-3≤3，得x≤2，即x=2，综上0≤x≤2，即不等式的解集为[0，2]．（2）由（1）知函数f（x）的图象如图：不等式f（x）≤ax的解集是空集，可转化为f（x）＞ax恒成立，即y=ax的图象始终在函数y=f（x）的下方，当直线经过A（2，3）时，3=2a，得a=，当直线与y=-3x+3平行时，a=3，则要使y=ax的图象始终在函数y=f（x）的下方，则-3≤a＜，即实数a的取值范围是-3≤a＜．解析：（1）讨论x的取值范围，结合绝对值的应用，进行解不等式即可．（2）将不等式f（x）≤ax的解集是空集，可转化为f（x）＞ax恒成立，即y=ax的图象始终在函数y=f（x）的下方，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查绝对值不等式的应用，利用分类讨论以及数形结合是解决本题的关键．。