数列的通项及求和公式专题课内导学案11
一、基本公式法：等差数列，等比数列。

例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，
236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。

（2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差，
13a =，则n a =_________。

二、已知n S 求n a ：11
(2)
(1)n n n S S n a S n --≥⎧=⎨
=⎩。

类型1、（1）已知2
1n S n n =++，求n a 。

（2）已知101n
n S =-，求n a 。

类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ；
（2）已知3
32
n n S a =-，求n a ； （3）已知22n n S a +=，求n a 。

类型3、（1）2
24n n n a a S +=，0n a >，求n a ；
（2）2
1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ；
（3）2111
424
n n n S a a =
++，0n a >，求n a 。

类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ； （2）11a =，12n n S a +=，求n a ； （3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。

类型5、（1）122n
n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n a =_____
（2）123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅=，则n a =_____
（3）12323n a a a na n +++⋅⋅⋅+=，则n a =_____
（4）
3
12123n a a a a n n
+++⋅⋅⋅+=，则n a =_____ （5）231233333n
n a a a a n +++⋅⋅⋅+=，n a =___
三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。

例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。

（2）已知数列{}n a 中满足13a =，
12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。

（3）求数列2,4,9,17,28,42,⋅⋅⋅的通项公式。

四、形如
1
()n n
a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。

例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n
n n a a +=⋅，
求n a 的通项公式。

（2）数列{}n a 中满足14a =，11
n n n
a a n +=⋅+，求n a 的通项公式。

（3）112a =
，111
n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。

五、构造法
例1、（1）14a =
2=，求n a ；
（2）14a =，22
12n n a a +-=，求n a ；
（3）14a =，
144
2n n
a a +-=，求n a ； （4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ；
（5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ； （6）11a =，121n n
a a n n
+-=+，求n a 。

例2、（1）11a =，123n n a a +=+，证明{3}n a +是等比数列，求n a 。

（2）11a =，122n n n a a a +=+，证明1
{}n
a 是等差数列，求n a 。

（3）11a =，12(1)
n n n a a n ++=
，证明{}n a n
是等比数列，求n a 。

（4）11a =，122n
n n a a +=+，证明{
}2n
n
a 是等差数列，求n a 。

（5）1123n n n a a a +-=-+（2n ≥），12a =，
26a =
，证明1{}n n a a +-是等差数列，求n a 。

一、公式法：直接运用等差数列、等比数列求和公式。

二、分组求和法：将一个数列分成n 部分求和。

例1、（1）求数列1111
1,2,3,4,24816
⋅⋅⋅的前n 项和。

（2）求和1
(21)(43)(23
)n
n -++++⋅⋅⋅+=_____
（3）31n a n =-，2n a
n b =，求数列{}n n a b +的前n 项和。

（4）11
3
a =，19n n a a +=，3log n n
b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和。

三、裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，
从而在求和时产生相消为零的项的求和方法。

例1、（1）1111447(32)(31)
n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯-+
（2
⋅⋅⋅⋅⋅⋅这
个数列的前n 项和。

（3）已知2
32n a n n =++，1n n a b ⋅=，求{}
n b 的前n 项和。

（4）11111212312n
+
++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅+
五、错位相减法：对等比数列与等差数列组合数列求和。

（1）已知{}n a 是等差数列，21n a n =-，{}n b 是
等比数列，3n
n b =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和。

（2）已知{}n a 是等差数列，31n a n =+，{}n b 是
等比数列，2n
n b =，数列{
}n
n
a b 的前n 项和____
三、倒序相加法：对前后项有对称性的数列求和。

例1、（1）32()21x f x x -=
-，求12
()()20162016
f f + 2015
(
)2016
f +⋅⋅⋅+。

（2
）设()f x =，利用倒序相加法，可求
(5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=。