小结与复习
1.本节课我们学习了哪些内容?
1：直角三角形两锐角互余；
直角三角形的性质：
2：在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半；
……
1：有一个角内角等于90°的三角形是直角 三角形。 2：三角形一边上的中线等于这条边的一半 的三角形是直角三角形； 3：有两个角互余的三角形是直角三角形；
直角三角形的判定：
A 提示：延长CD，使得CD=DE, 连结BE, 先证△ACD≌ △BED， 然后证△ACB≌ △EBC，得 1 AB=CE，最后说明 CD AB
2
D
B
E
例1 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 求证：这个三角形是直角三角形.
如图，已知：CD是△ABC的AB 1 CD AB 边上的中线，且 2 求证： △ABC是直角三角形.
结论
直角三角形的判定定理：
三角形一边上的中线等于这条边的一半的 三角形是直角三角形.
例2：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中 点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
D C
A
E

B
变式训练．已知，如图， BD 、 CE 分别是△ ABC 的高， M、N分别是BC、DE的中点，分别连结ME，MD。 求证：MN⊥ED
A
E
F
D
C
思考与探究：
如图，已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是AB上 的中点，CH⊥AB于H，CD平分∠ACB （1） 求证：∠1=∠2 （2） 过点M作AB的垂直平分线交CD延长线于 E， 求证：CM=EM （3） △AEB是什么三角形？证明你的猜想
C
21
H A M D B
E
我们的生活离不开数学， 我们要做生活的有心人。
……
作业： 1、如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90度，CD是斜边 AB上的高，那么， 与 ∠B互余的角有 ，与 ∠A互余的角有 ，与 A ∠B相等的角有 ，与 ∠A相等的角有 . 2、如图，在△ABC中， AD⊥BC，E、F分别是AB、 AC的中点，且DE=DF.求 证:AB=AC B
C
D
B
再 见
1.1 直角三角形的性质和判定
南县城西中学
杨 平
说一说
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角之和：∠A+∠B=？
∠A +∠B = 90°
直角三角形的性质：
直角三角形两锐角互余
2.如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°， 那么△ABC是直角三角形吗？ 由三角形内角和性质， ∠A +∠B+∠C= 180°，因为 ∠A +∠B=90°，所以 ∠C=90°，于是△ABC是直 角三角形. 直角三角形的判定定理：
证明： ∵ CD 1 AB= BD= AD
2
∴ ∠1=∠A ∠2=∠B （ 等边对等角 ） 又 ∵ ∠A+∠B+∠ACB =180°（三角形 内角和的性质）
即∠A+∠B+∠1+∠2=180°
∴ ∴ 2(∠A+∠B)=180° ∠A+∠B =90°
∴ △ABC是直角三角形( 有两个角互余的三角形是直角三角形 )
有两个角互余的三角形是直角三角形.
图3-58
探究
画一个Rt△ABC，∠ACB=90°， CD是斜边 AB上的中线，并度量CD、AB、AD、BD的长度， 再比较CD、AB的关系。 CD= ；AD= ； BD= ；AB=
1 2
；
CD=
AB
你们得到了什么结论？
结论
直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半.
1 是否任意一个Rt △ABC都有 CD AB 2 成立呢？
如图1，如果中线 CD 1 AB ，即CD=AD，所以 2 ∠ACD=∠A。于是在图2中，过 Rt△ABC 的直角顶点 C 作射线 CD′交 AB 于 D′，使 ∠1 = ∠A，则有 AD =CD. (等角对等边)
图1
图2
又∵∠A +∠B = 90° ( 直角三角形两个角等于90° )
∠1 +∠2 = 90° ∴ ∴ ∠ B =∠ 2 BD =CD (等角对等边)
∴ BD = AD =CD 1 AB. 2 ∴ D′是斜边AB的中点
即CD′就是斜边AB的中线，从而CD′ CD 1 AB. 与CD重合，并且有 2
求证：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D是AB的中点，连结 1 C CD，求证： CD AB 2
A E N D
B
M
C
变式训练：如图，在△ABC中，BD、CE是高， M、N分别是BC、ED的中点，试说明： MN⊥DE. •解：连结EM、DM. • ∵BD、CE是高，M是BC中点， • ∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，
EM 1
2
BC ， DM
1
2
BC ，
E
A
• • •
∴EM=DM. 又∵N是ED中点， ∴MN⊥ED
N
D
B
M
C
练习 （1）在Rt△ABC中，有一个锐角为52度， 那么另一个锐角度数为 ； （2）在Rt△ABC中，∠C=90度，∠A ∠B =30度，那么∠A= ，∠B= ； （3）在△ABC中， ∠C=90 °，CE是AB 边上的中线，那么与CE相等的线段是 _____，与∠A相等的角是_____，若 ∠A=35°，那么∠ECB= ______． （4）在直角三角形中，斜边及其中线之和为6， 那么该三角形的斜边长为________．