第二学期期中考试高三理科数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集U R =，集合1{|0}3x A x x +=≥-，1{|28}4x B x =≤≤，则()U C A B 为 （ ）A ．(1,3)-B ．[2,1]--C ．[2,3)-D ．[2,1){3}--2.已知复数z 满足()3133i z i +=，z 是z 的共轭复数则z =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．233. 以下有关命题的说法错误．．的是（ ） A. 命题“若022=--x x ，则1-=x ”的逆否命题为“若1-≠x ，则022≠--x x ” B. “022=-+x x ”是“1=x ”成立的必要不充分条件C. 对于命题R :0∈∃x p ，使得01020<+-x x ，则R :∈∀⌝x p ，均有012≥+-x x D. 若q p ∨为真命题，则p ⌝与q 至少有一个为真命题4.设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x273)(+-=（b 为常数），则=-)2(f （ ） A ．6 B ．6- C. 4 D ．4-5.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若520S =，且6130S a -=，则5a 的值是（ ） A ．8 B ．10 C ．4 D ．4或106.已知,a b 为单位向量， 0a b c ++=，则c 的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 37.已知402cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 8.设，满足约束条件，则目标函数取最小值时的最优解是（ ）A. B. C. D. 9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的各面中最大面 的面积为（ ）A. 22B. 23C. 32D. 2 10.已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象的一个对称中心为,02π⎛⎫⎪⎝⎭，且142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ） A. 23 B. 1 C. 43D. 211.已知双曲线C ： 22221x y a b-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ， P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =， 120QF QF ⋅=，则双曲线C的离心率为（ ）A. 8B. 2C. 132+D. 132-12．设()()22xf x exx =+，令()()1'f x f x =，)()('1x f x f n n =+，若()()2x n n n n f x e A x B x C =++，则数列1n C ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，当112018n S -≤时， n 的最小整数值为（ ）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13. 若561⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 的展开式的常数项是__________．14.记直线:210l x y -+=的倾斜角为α，则1tan 2sin 2αα+的值为 .15.《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？” 赣州古城墙某处厚33尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第____天．（用整数作答）16.e 为自然对数的底数，已知函数()51,0188ln ,1x x f x x m x ⎧+<<⎪=⎨⎪+≥⎩，若R,∈∃a 使得函数()y f x ax =-有三个零点，则m 的取值范围是______________三、解答题（共70分）17. （12分）已知函数()x x x f 2sin 262sin +⎪⎭⎫⎝⎛+=π. （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若232=⎪⎭⎫⎝⎛A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求a 边的长.18.（12分）在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂每天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂该天购进了80斤米粉，以x （斤）（其中10050≤≤x ）表示米粉的需求量，T （元）表示利润. （1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求T 的分布列和数学期望.19．（12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//MN 平面ABCD ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为30︒，求平面AMHN 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆系方程n C ：2222x y n a b+=(0a b >>，*n N ∈)，12,F F 是椭圆6C 的焦点， ()63A ，是椭圆6C 上一点，且2120AF F F ⋅=.（1）求6C 的方程；（2）P 为椭圆3C 上任意一点，过P 且与椭圆3C 相切的直线l 与椭圆6C 交于M ，N 两点，点P 关于原点的对称点为Q ，求证：QMN ∆的面积为定值，并求出这个定值．21.（12分）已知函数()()1ln 1+-+-=x x a ax x f . （1）若0=a ，求()x f 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()0≥x f 对一切()∞+∈，1x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：对*N ∈n ，都有()1ln 211215131+<++++n n .[选修4—4：坐标系与参数方程]22.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕπ∈）．以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线():0l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值．选修4-5:不等式23.（10分）已知+∈R b a ,且221a b +=． （1）求a b +的最大值M ；（2）若不等式32x t x x -≥-+-若任意22[,1]x M M ∈+成立，求实数t 的取值范围．高三理科数学答案一、选择题1-5 DCDAA 6-10 CBBBA 11-12 BA 二、填空题13. 514.121-15. 616.434e 3ln<<m17.【答案】(Ⅰ)最小正周期，单调递减区间是；(Ⅱ).（Ⅰ）()16-2sin 2cos 16sin2cos 6cos 2sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛=-++=πππx x x x x f …………2分 所以的最小正周期……………………………………………………3分令2326222πππππ+≤-≤+k x k ，解得所以的单调递减区间是…………………………………………6分 （Ⅱ）∵，∴，又∵∴…………………8分∵，的面积为∴…………………………………………10分∴…………………………………………12分18.【答案】(1)0.65；(2)答案见解析. （1）一斤米粉的售价是元. 当时，.当时，.故………………3分 设利润不少于760元为事件， 利润不少于760元时，即.解得，即.由直方图可知，当时，.…………………6分（2）当时，； 当时，； 当时，； 当时，960.所以可能的取值为460，660，860，960.，， ，.…………………10分故的分布列为 (12)分19.解析（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O ⋂=且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ， 且平面AMHN ⋂平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ……………………………6分（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以，所以,1232AO PA PO PA ==，因为PA AB =，所以12BO PA =． 分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则()()()()()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,3,0,0,0,1,0,0,0,1,,0,2231O A B C D P H ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()330,2,0,,0,,3,1,0,0,1,1212P D B B AH AB ⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭． 记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111121{ 33022n DB y n AH x z ⋅==⋅=-+=， 令11x =，所以()11,0,33n =，…………………………………………9分记平面ABCD 的法向量为()20,0,1n =，， 记二面角的大小为θ，则121212321cos cos<,14n n n n n n θ⋅===⋅>． 所以二面角P AM N --的余弦值为32114．…………………………………………12分 20.【解析】（1）椭圆6C 的方程为： 6C ： 22226x y a b+= 即： 2222166x y a b +=∵．∴，又()6,3A 6c ∴=………2分222666a b c ∴-==即： 221a b-=又()()222263166ab+=22a ∴=,21b =∴椭圆6C 的方程为： 2262x y += ………………………4分（2）解：设()00,P x y ，则()00,Q x y -- 当直线l 斜率存在时，设l 为： y kx m =+,则00y kx m =+，由223{ 2x y y kx m+==+联立得： ()222214260k x kmx m +++-= 由0∆=得()22321m k =+ …………………………………………6分Q 到直线l 的距离0022211kx y mm d k k -++==++同理，由226{ 2x y y kx m+==+联立得： ()2222142120k x kmx m +++-= 122421kmx x k ∴+=-+， 212221221m x x k -=+…………………………………………8分 MN ∴=()()22121214kx x x x ⎡⎤++-⎣⎦()22222421214?2121km m k k k ⎡⎤-⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222228126121k m kk+-=++ 2221k m +=12QMNS MN d ∆∴= 22222121•2211k m m k k +=++ 222m=()222232121k k ⨯+=+62=………………………………………………………………………………………………10分当直线l 斜率不存在时，易知62QMN S ∆∴=， QMN ∆的面积为定值62……………12分21.【答案】(1) 单调增区间为，单调减区间为.(2)；(3)证明见解析. （1）当时，函数，定义域为，.令可得，令可得. 所以的单调增区间为，单调减区间为.…………………………………………3分（2），.①当时，，.故在区间上递增， 所以，从而在区间上递增.所以对一切恒成立.②当时，，.当时，，当时，.所以时，.而，故.所以当时，，递减，由，知，此时对一切不恒成立.③当时，，在区间上递减，有，从而在区间上递减，有.此时对一切不恒成立. 综上，实数的取值范围是.…………………………………………9分（3）由（2）可知，取，当时，有. 取，有，即. 所以，所以.…………………………………………12分22.【答案】（1）2sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 4cos ρθ=（2）222+ （1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即2sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ……………………4分（2） 由（1）知1,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ====+，()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭… 由02πα≤≤知52+444πππα≤≤，当242ππα+=，即8πα=时， OB OA 有最大值2+．…………………………10分23.【解析】（1）由2a b+≥得a b +≤，当且仅当a b =取最大值，M ∴=……………………………5分（2）[2,3]x ∈，32x t x x ∴-≥-+- 可化为1x t -≥，1t x ∴≤-或1t x ∴≥+恒成立(,1][4,)t ∴∈-∞+∞………………………………10分。