鸡兔同笼问题在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。

数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。

翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。

问鸡和兔一共有多少只？这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。

这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多样，但一般采用假设法。

【例1】★今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。

问鸡、兔各有多少只？【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。

假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。

减少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。

所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。

【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。

问：小梅家的鸡与兔各有多少只？【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。

如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。

因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。

有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。

【例2】★面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。

面值是2元、5元的人民币各有多少张？【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。

假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一张面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。

【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。

两种硬币各有多少枚？【解析】2分10枚，5分30枚【例3】★一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。

每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。

如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨，需45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，所以，这批水泥共有16×45=720吨。

【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。

已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？【解析】96吨【例4】★★某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3元。

结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元。

求打碎了几个玻璃杯？【解析】假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费1×1000=1000元，实际上少得1000－920=80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。

每打碎一个，不但不给运费还要赔偿3元，这样玻璃杯厂就少收入1＋3=4元。

又已求出共少收入80元，所以打碎的玻璃杯数为80÷4=20个。

【小试牛刀】搬运1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角。

但打碎一只，不仅不给搬运费还要赔5角。

如果运完后共得运费260元，那么，搬运中打碎了多少只？【解析】50只【例5】★★某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的门票共200张，收入7800元。

其中40元和50元的张数相等，每种票各售出多少张？【解析】因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都看作45元的门票，假设这200张门票都是45元的，应收入45×200=9000元，比实际多收入9000－7800=1200元，这是因为把30元的门票都当作45元来计算了。

因此30元的门票有1200÷（45－30）=80张，40元和50元的门票各有（200－80）÷2=60张。

【小试牛刀】某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张，收入15600元。

其中40元和50元的张数相等，每种门票各售出多少张？【解析】30元的160张【例6】★★一次竞赛的抢答题共有20道题，如果抢答对一道题就加10分，抢答错误要倒扣20分。

李刚在比赛中抢答了9道题，一共加了30分，他抢答对几道题？【解析】假设李刚答对了9道题，那么他答错了（10×9－30）÷（10＋20）=（90－30）÷30=60÷30=2（道）答对了9－2=7（道）【例7】★★鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。

问：鸡、兔各多少只？【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。

这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。

现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。

解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只）， 有鸡100——30=70（只）。

【小试牛刀】现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。

问：大、小瓶各有多少个？【解析】小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），大瓶有50-30＝20（个）。

【例8】★★★有蜘蛛、蝉、蜻蜓共22只，共有腿148条，翅膀22对。

（其中蜘蛛有8条腿；蜻蜓有6条腿，两对翅膀；蝉有6条腿，一对翅膀）。

求蜻蜓有多少只？【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题，我们先依据题意，得到以下几种数量：项目蜘蛛蜻蜓蝉合计只数（只）22腿（条）8×只数6×只数6×只数148翅膀（对）——2×只数1×只数22注意到蜻蜓和蝉都是有6条腿，而蜘蛛有8条腿。

所以可以先从腿数入手求出蜘蛛的只数。

假设三种昆虫都是6条腿，那么总腿数是6×22=132（条），与已知的148条腿相差148－132=16（条），这是因为每只蜘蛛少算了8－6=2（条）腿，所以有16÷2=8（只）蜘蛛。

这样蜻蜓和蝉一共有22－8=14（只），一共有22对翅膀。

再从翅膀入手，假设14只昆虫全是蜻蜓，求出蝉有（2×14－22）÷（2－1）=6（只），这样蜻蜓有14－6=8（只）。

假设三种昆虫都是6条腿，那么蜘蛛有：（148－6×22）÷（8－6）=（148－132）÷2=16÷2=8（只）蜻蜓和蝉一共有22－8=14（只）假设14只昆虫全是蜻蜓，那么蝉有：（2×14－22）÷（2－1）=（28－22）÷1=6÷1=6（只）蜻蜓有14－6=8（只）【小试牛刀】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。

问：每种小虫各有几只？【解析】　9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。

　提示：把小虫分成8条腿与6条腿两种，先求出蜘蛛的数。

【例9】★★★学校买来足球、篮球和排球共45个，共花费2820元。

其中足球每个80元，篮球每个60元，排球每个50元；现已知足球个数比排球少3个。

三种球各买了多少个？【解析】假设排球减少3个，此时三种球一共有45－3=42（个），共花费2820－50×3=2670（元）。

由于足球与排球个数同样多，就可以把足球与排球和起来看作是一种球，这时足球、排球平均每个是（80+50）÷2=65（元）。

此时就将题目转化为典型的鸡兔同笼问题：两种球共有42个，共花费2670元，其中篮球每个是60元，另一种球每个是65元。

两种球各有多少个？求出篮球有多少个以后，就可以求出足球和排球有多少个。

将排球减少3个，那么有45－3=42（个）球，共花费2820－50×3=2670（元），足球、排球平均每个是（80＋50）÷2=65（元）。

假设全是另一种球，那么篮球有（65×42－2670）÷（65－60）=（2730－2670）÷5=60÷5=12（个）这样足球与排球一共有33个，一共花了2820-60×12=2100元。

假设全是排球，那么足球有（2100－50×33）÷（80－50）=（2100－1650）÷30=450÷30=15（个）排球有33－15=18（个）【小试牛刀】学校买来足球、篮球和排球共34个，共花费2430元。

其中足球每个90元，篮球每个70元，排球每个60元；现已知买足球所花的钱数与买排球用的同样多。

三种球各买了多少个？【解析】把2个足球、3个排球看作一组，求出平均每个球的价钱是：（90×2＋60×3）÷（2＋3）=360÷5=72（元）假设学校买来的全是篮球，那么“新球”有：（2430－70×34）÷（72－70）=（2430－2380）÷2=50÷2=25（只）篮球有：34－25=9（只）足球有：25÷（2＋3）×2=25÷5×2=10（个）排球有：25－10=15（个）【例10】★★师徒二人合作加工赶制一批零件。

师傅每小时加工零件200个，徒弟每小时加工120个，中途师傅由于疲劳先后休息了3小时。

工作完成后，徒弟发现他仍然比师傅少加工了200个零件。

师徒二人共加工了多少个零件？【解析】师徒二人一共加工了2600个零件。

1.100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。

问：大、小和尚各有多少人？【解析】如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。

现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100－80＝20（人）。

同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。

2. 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。