第二章测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC 的度数是( )A．18° B．24° C．30° D．36°(第2题) (第4题) (第8题)3．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )A.365B.1225C.94D.3344．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC ≌Rt△ABD，以下给出的条件合适的是( )A．AC＝AD B．BC＝ADC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD5．已知一个等腰三角形的两个内角度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为( )A．20° B．120° C．20°或120° D．36°6．在△ABC中，AB2＝(a＋b)2，AC2＝(a－b)2，BC2＝4ab，且a＞b＞0，则下列结论中正确的是( )A．∠A＝90° B．∠B＝90°C．∠C＝90° D．△ABC不一定是直角三角形7．直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三条边上的中线长是( ) A．5 B．6 C．6.5 D．128．如图，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )A．20° B．35° C．40° D．70°9．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积从左往右依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于( )A．3 B．4 C．5 D．6(第9题) (第10题)10．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连结AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连结PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形．其中正确的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(每题3分，共24分)11．请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：______________________．12．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为____________．13．已知实数x，y满足(x－4)2＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(c2－a2－b2)2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为____________．15．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有________对全等三角形．(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)16．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连结小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是________．17．如图，在正方形网格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将网格内一个空白小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有________种．18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，沿EF折叠后，点C与点O重合，则∠OEC的度数是________．三、解答题(19，20题每题6分，21，22，23题每题8分，24题10分，共46分) 19．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．(1)写出该命题的逆命题．(2)该逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．20.如图，点E，F在△ABC的边BC上．若AE＝AF，BE＝CF，则AB＝AC，并说明理由．(第20题)21．如图，AB∥CD，EG，FG分别是∠BEF和∠DFE的平分线．求证：△EGF 是直角三角形．(第21题)22．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的邻补角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，则：(1)图中有哪几个等腰三角形？为什么？(2)BD，DE，CE之间存在着什么数量关系？并说明理由．(第22题)23．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证： (1)CF ＝EB ； (2)AB ＝AF ＋2EB .(第23题)24．如图，等腰直角三角形DBC 中，∠BDC ＝90°， BF 平分∠DBC ，与CD 相交于点F ，延长BD 到A ，使DA ＝DF ，连结AC . (1)求证：△FBD ≌△ACD ；(2)如图，延长BF 交AC 于点E ，且BE ⊥AC ，求证：CE ＝12BF .(3)在(2)的条件下，H 是BC 边的中点，连结DH ，与BE 相交于点G .试探索CE ，GE ，BG 之间的数量关系，并证明你的结论．(第24题)答案一、1.D 2.A3．A ：利用等积法解答．根据勾股定理求得AB ＝15，设点C 到AB 的距离是x ，可列方程12×9×12＝12×15x ，解之即可．4．A 5.C6．C ：由题意可得，AB 2＝AC 2＋BC 2，所以△ABC 为直角三角形，AB 所对的角为直角，所以∠C ＝90°. 7．C8．B ：因为△ABC 是等腰三角形，AD 是其底边上的中线，所以AD 也是底边上的高线，所以∠ACB ＝90°－∠CAD ＝70°.又因为CE 是∠ACB 的平分线，所以∠ACE ＝12∠ACB ＝35°.9．B ：本题不能直接求出S 1，S 2，S 3，S 4，但我们可以利用三角形全等和勾股定理求出S 1＋S 2＋S 3＋S 4.根据“AAS ”很容易证明△ABC ≌△CDE ，所以AB ＝CD .又因为CD 2＋DE 2＝CE 2，AB 2＝S 3，CE 2＝3，DE 2＝S 4，所以S 3＋S 4＝3.同理可得S 1＋S 2＝1，所以S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝1＋3＝4.10．D ：∵△ABD ，△BCE 为等边三角形，∴AB ＝DB ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，BE ＝BC ，∴∠ABE ＝∠DBC ，∠PBQ ＝60°. 在△ABE 和△DBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DB ，∠ABE ＝∠DBC ，BE ＝BC ，∴△ABE ≌△DBC (SAS )． ∴①正确． ∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC .∵∠BDC ＋∠BCD ＝∠ABD ＝60°，∴∠DMA ＝∠BAE ＋∠BCD ＝∠BDC ＋∠BCD ＝60°. ∴②正确．易证△ABP ≌△DBQ (ASA)， ∴BP ＝BQ .又∵∠DBQ ＝60°， ∴△BPQ 为等边三角形． ∴③正确．二、11.等边三角形的三个角都相等 12．75°或15° 13.20 14．等腰直角三角形15．3 ：△OPE ≌△OPF ，△OPA ≌△OPB ，△AEP ≌△BFP ，所以共有3对全等三角形．16.322 ：在网格中求三角形的高，应借助三角形的面积求解．以AC ，AB ，BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1，1，12，因此△ABC 的面积为2×2－1－1－12＝32.用勾股定理计算出BC 的长为2，因此BC 边上的高为322.17．318．100° ：连结OB ，OC .易得△AOB ≌△AOC (SAS)． ∴∠ACO ＝∠ABO .又∵OD 垂直平分AB ，∴OB ＝OA ， ∴∠ABO ＝∠BAO ＝12∠BAC ＝25°.∴∠ACO ＝25°.在△ABC 中，∵∠BAC ＝50°，AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝12×(180°－50°)＝65°.∴∠ECO ＝∠ACB －∠ACO ＝40°. 由折叠可知，OE ＝EC . ∴∠EOC ＝∠ECO ＝40°. ∴∠OEC ＝100°.三、19.解：(1)两边上的高相等的三角形是等腰三角形．(2)真命题．已知：如图，在△ABC 中，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ，且CD ＝BE . 求证：AB ＝AC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ， ∴∠BEA ＝∠CDA ＝90°， 又∵∠A ＝∠A ，BE ＝CD ， ∴△ABE ≌△ACD ，∴AB ＝AC .(第19题)20．解：∵AE ＝AF ，∴∠AEF ＝∠AFE .∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，∴BF＝CE .在△ACE 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠AEC ＝∠AFB ，CE ＝BF ，∴△ACE ≌△ABF (SAS)， ∴AB ＝AC .21．证明：∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∵EG ，FG 分别是∠BEF 和∠DFE 的平分线，∴∠GEF＝12∠BEF，∠GFE＝12∠DFE，∴∠GEF＋∠GFE＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°，∴△EGF是直角三角形．22．解：(1)△BDF和△CEF.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，∵DF∥BC，∴∠FBC＝∠DFB，∴∠DFB＝∠DBF，∴DB＝DF，∴△BDF是等腰三角形．同理，△CEF也是等腰三角形．(2)BD＝DE＋CE.由(1)知△CEF是等腰三角形，且EC＝EF，∵BD＝DF＝DE＋EF，∴BD＝DE＋CE.：“平行线＋角平分线”是等腰三角形中常见的基本图形之一，应注意在其他图形中的发掘与应用．23．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.又∵BD＝DF，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB.(2)由(1)可知DE＝DC，又∵AD＝AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADE.∴AC＝AE.∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.：(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE，再根据Rt△CDF ≌Rt△EDB，得CF＝EB.(2)利用(1)中结论证明Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，再将线段AB进行转化．24．(1)证明：∵△BCD 是等腰直角三角形，且∠BDC ＝90°，∴BD ＝CD ，∠BDC ＝∠CDA ＝90°. 在△FBD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，∠BDF ＝∠CDA ，DF ＝DA ，∴△FBD ≌△ACD (SAS)． (2)证明：∵BE ⊥AC ， ∴∠BEA ＝∠BEC ＝90°.∵BF 平分∠DBC ，∴∠ABE ＝∠CBE ， 又∵BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE (ASA)， ∴AE ＝CE .∴CE ＝12AC .由(1)知△FBD ≌△ACD ， ∴BF ＝AC ，∴CE ＝12BF .(3)解：BG 2＝GE 2＋CE 2. 证明：连结CG ，∵H 是BC 边的中点，BD ＝CD ，∴DH 垂直平分BC ，∴BG ＝CG (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．∵BE ⊥AC ，∴CG 2＝GE 2＋CE 2，∴BG 2＝GE 2＋CE 2. ：本题综合考查全等三角形的判定与性质，以及通过添加辅助线利用勾股定理解决问题．。