每天的收入函数记为U(n)，则
(a b)r (b c)(n r) U (n, r) (a b)n
收入函数的期望值为
nr nr
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] f (r) (a b)nf (r)
r0
r n 1
求 n 使 G(n) 最大
将r视为连续变量 f (r) p(r) (概率密度）
设有 k 个人误机的概率是 Pk ，
Pk Cmk pk qmk , q 1 p
平均利润 S 即 ( s 数学期望值)，
mn1
m
S(m) Pk[ng r (m k n)b] Pk m k g r
k 0
k mn
m
由 kPk mp, k 0
m
Pk 1
k 0
mn1
得 S(m) qmg r b g Pk m n k k 0
定义：当生产进入稳态后，衡量传送系统 效率的指标，在一个生产周期内
D＝带走的产品数/生产的产品数 ＝s/n
S的确定：与空钩个数有关
从工人角度：每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率与工人位置有关。
从钩子的角度：钩子无次序，处于同等地 位，在一周期内，m个钩子求出非空 的概率p，则s=mp
P的确定 任一只钩子被一名工人触到的概率： 任一只钩子不被一名工人触到的概率： 工人相互独立，任一只钩子不被n名工人
k 0
k 0
mn1
m
m
S(m) (b g) Pk (m k n) kPk g Pk (mg r)
k 0
k 0
k 0
mn1
S(m) (b g) Pk (m k n) mpg mg r
k 0
mn1
S(m) qmg r b g Pk m n k
k 0
从社会声誉和经济利益两方面考虑
试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。
2 问题分析
订票策略：为了航空公司的经济利益与社会声誉，
确定预订票的最佳数量。
公司的经济利益 公司的社会声誉
利润 = 收入-成本-赔偿金 已订票但被挤掉的乘客的数量
问题转化为 怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤 掉的乘客的数量尽可能小。
所建模型为双目标的优化模型
mn1
max S(m) pmg r b g Pk m n k k 0
mn j 1
min Pj (m)
Pk
k 0
模型变形
航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是 航班载客量的60%，即 0.6ng r
S
r
1 0.6n
pm
1
b g
mn1 Pk
p 0.05
b / g 0.2
m
300
302
304
306
308
310
312
314
316
P5
0
0
0
0
0
0.0005 0.0044 0.0232 0.0791
J1
0.5833 0.5939 0.6044 0.6150 0.6254 0.6355 0.6445 0.6519 0.6568
m
318
320
308
310
312
314
316
P5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
J2
0.5000 0.5100 0.5200 0.5300 0.5400 0.5500 0.5600 0.5700 0.5800
318
320
322
324
326
328
330
332
334
336
0 0.5900
0.0002 0.5999
0.0008 0.6097
在图中用 P1, P2 分别表示曲线 pr 下的两块面积，则
P1 a b
P2 b c
结论
P1 P2
O
n
r
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大
时，报童购进的份数就应该越多。
注意
建模方法：从特殊到到一般
1998年B题 灾情巡视路线 单旅行商到多旅行商
归纳抽象
1999年B题 钻井布局 网格的平行移动到旋转运动
p(r)dr
dn
0
n
dG 0 dn
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b bc
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。
因为
0
pr dr
1
n
0
pr dr
n
pr dr
1
n p(r)dr a b
0
ac
因为当购进 n 份报纸时，
售不完的 概率
n
p(r)dr
0
p(r)dr
a b bc
n
售完的 概率
概率模型
（一）传送系统的效率问题 （二）报童的诀窍 （三）航空公司的超额订票问题
随机模型
确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
数学期望 离散型随机变量 X 的概率分布为
P( X xi ) pi (i 1,2,, n) 则随机变量 X 的数学期望值为
n
0
p(r)dr p(r)dr
ab bc
n
n
0
1
p(r)dr
n
p(r)dr
ab bc
0.25 0.15
5 3
0
n
0
p(r)dr p(r)dr
ab bc
n
n
0
1
p(r)dr
n
p(r)dr
ab bc
0.25 0.15
5 3
0
n
5
0
p(r)dr 8
0.625
( n 500) 0.625 0.5 50 0.125
求解技巧：连续化
人口模型，战争模型
2000年B题 钢管的订购与运输 线形到树形
2000年C题 飞越北极 球形到椭球形
随机变量的目标函数：期望值 航空公司的超额订票模型
利用上述模型计算，若每份报纸的购进价 为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元， 需求量服从均值500份，均方差50份的正态 分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平 均收入最高，最高收入是多少？
则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。
1 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
2 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
3 每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
r n 售出r 赚(a b)r 退回n r 赔(b c)(n r)
r n 售出n 赚(a b)n
P1
n pr dr是需求量 r 不超过 n的概率
0
P2
pr dr是需求量 r 超过 n 的概率
n
上式意义为：购进的份数 n 应该使卖不完与卖完的概率
之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a b 与退回一份赔的钱 b c
之比。
n
p(r)dr
0
p(r)dr
a b bc
n
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n
以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。
3 模型假设
飞机容量为常数 n，机票价格为常数 g，飞行 费用为 常数 r。
机票价格按照 g r n 来制订，其中 ( 1) 是利润 调节因子，如 0.6 表示飞机60%满员就不亏本。
预订票数量的限额为常数 m(>n) ，每位乘客不按时前来 登机的概率为 p，各位乘客是否按时登机是相互独立的。
效率：工人所生产的产品数，
传送系统带走的产品数，
稳态：工人生产一件产品的时间长短相同， 即，生产周期相同，
当生产进入稳态后，工人生产一件产品的 时刻再一个周期那是等可能，
工人的生产是相互独立的。
钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的 钩子为空钩。
模型的建立：工人人数n个 钩子个数 m个 带走的产品数s个
0.0030 0.6193
0.0093 0.6283
0.0243 0.6365
0.0547 0.6436
0.1074 0.6492
0.1869 0.6533
0.2922 0.6559
结果表明：当超额订票的乘客数分别为20和36时，可以达到 最大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率分别为 36%和54%。 当超额订票的乘客数分别为18和36时，可以达到较大的预期 利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率却分别为20%和 30%。
每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b。
4 模型建立
先不考虑社会声誉的影响。
公司的经济利益用平均利润（数学期望）S 来衡量
订票的总人数是 m ，m 有可能超出 n
当有 k 个人误机时，
航空公司可能从航班中得到的利润为
s m kg r,
s ng r (m k n)b,
mk n mk n
G(n)
n
0
[(
a
b)r
(b
c)(n
r
)]
p(r
)dr
n
(a
b)np(r)dr NhomakorabeadG (a b)np(n)
n
(b c) p(r)dr
dn
0
(a b)np(n) n (a b) p(r)dr
n
(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr