分式概念形如(A、B就是整式,B中含有字母)的式子叫做分式。

其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。

且当分式的分子的次数低于分母的次数时,我们把这个分式叫做真分式;当分式的分子的次数高于分母的次数时,我们把这个分式叫做假分式。

注意:判断一个式子就是否就是分式,不要瞧式子就是否就是的形式,关键要满足:分式的分母中必须含有字母,分子分母均为整式。

无需考虑该分式就是否有意义,即分母就是否为零。

由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性。

方法:数瞧结果,式瞧形。

分式条件:1、分式有意义条件:分母不为0。

2、分式值为0条件:分子为0且分母不为0。

3、分式值为正(负)数条件:分子分母同号得正,异号得负。

4、分式值为1的条件:分子=分母≠0。

5、分式值为-1的条件:分子分母互为相反数,且都不为0。

代数式分类整式与分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式与有理式统称代数式。

分式的基本性质分式的分子与分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变。

用式子表示为:(A,B,C为整式,且B、C≠0)运算法则约分根据分式基本性质,可以把一个分式的分子与分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分。

约分的关键就是确定分式中分子与分母的公因式。

约分步骤:1、如果分式的分子与分母都就是单项式或者就是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去。

2、分式的分子与分母都就是多项式,将分子与分母分别分解因式,再将公因式约去。

公因式的提取方法:系数取分子与分母系数的最大公约数,字母取分子与分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式。

最简分式:一个分式不能约分时,这个分式称为最简分式。

约分时,一般将一个分式化为最简分式。

通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分。

分式的乘法法则:(1)两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。

（2）两个分式相除,把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。

用字母表示为:分式的加减法法则:同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。

用字母表示为:异分母分式的加减法法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。

除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数:乘方分子乘方做分子,分母乘方做分母,可以约分的约分,最后化成最简:分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的解法:(1)去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程)(2)按解整式方程的步骤求出未知数的值(3)验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)。

分式方程解法的归纳:解分式方程的基本思路就是将分式方程化为整式方程,具体做法就是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也就是解分式方程的一般思路与做法。

【基础精讲】一、分式的概念1、正确理解分式的概念:【例1】有理式(1)x 1; (2)2x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -;(5)11－x ;(6)π1中,属于整式的有: ;属于分式的有: 。

、2、判断分式有无意义关键就是瞧分母就是否为零、 (1) 例如,当x 为 时,分式()()()322-++x x x 有意义. 错解:3≠x 时原分式有意义.(2) 不要随意用“或”与“且”。

例如 当x____时,分式有意义？ 错解:由分母,得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.当x 时,分式11－x x +有意义.当x 时,分式11－x x +无意义.当x 时,分式112－x x -值为0. 二、分式的基本性质:1、分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变、(1) 分式的基本性质就是分式恒等变形的依据,它就是分式的约分、通分、化简与解分式方程基础,因此,我们要正确理解分式的基本性质,并能熟练的运用它.理解分式的基本性质时,必须注意:①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都就是整式.②在分式的基本性质中,M ≠0.③分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0),不要只乘分子(或分母).④性质中“分式的值不变”这句话的实质,就是当字母取同一值(零除外)时,变形前后分式的值就是相等的。

但就是变形前后分式中字母的取值范围就是变化的.(2)注意:①根据分式的基本性质有:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.②分式的基本性质就是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式【例3】下列变形正确的就是( ). A.a b a b c c -++=-; B.a a b c b c -=--- C.a b a b a b a b-++=--- D.a b a b a b a b --+=-+- 【例4】 如果把分式52x x y -中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) . A 、扩大3倍 B 、扩大9倍 C 、 扩大6倍 D 、不变2、约分约分就是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际就是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据就是分式的基本性质、【例5】(1)化简222a b a ab -+的结果为( )A.b a - B.a b a - C.a b a+ D.b - (2)化简2244xy y x x --+的结果()A.2x x + B.2x x - C.2y x + D.2y x - (3)化简62962-+-x x x 的结果就是()A.23+x B.292+x C.292-x D.23-x 3、通分通分的依据就是分式的基本性质,通分的关键就是确定最简公分母、最简公分母由下面的方法确定:(1)最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;(2)最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积;三、分式的运算1、分式运算时注意:(1)注意运算顺序.例如,计算a a a a +-⋅+÷-31)3(11,应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行.错解:原式2)1(1)1(11a a a -=-÷-= (2)通分时不能丢掉分母.例如,计算11---x x x ,出现了这样的解题错误:原式=11-=--x x .分式通分就是等值变形,不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆;(3)忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时,若分子就是多项式,其括号不能省略.(4)最后的运算结果应化为最简分式.2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键就是理解其法则、(1)先把除法变为乘法;(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解,当然有乘方运算要先算乘方,然后同其它分式进行约分;(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘;(4)最后还应检查相乘后的分式就是否为最简分式.3、加减的加减1)同分母分式加减法则:分母不变,分子相加减。

2)异分母分式加减法则:运算步骤:①先确定最简公分母;②对每项通分,化为分母相同; ③按同分母分式运算法则进行;④注意结果可否化简,化为最简.4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序:先进行乘方运算,其次进行乘、除运算,再进行加、减运算,遇有括号,先算括号内的、如果分式的分子或分母中含有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分的先约分,再进行运算、【例6】计算:(1)()212242-⨯-÷+-a a a a ; (2)222---x x x ; （3）x x x x x x 2421212-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+(4)已知113x y -=,则代数式21422x xy y x xy y ----的值 分式运算中的技巧与方法1在分式运算中,若能认真观察题目结构特征,灵活运用解题技巧,选择恰当的运算方法,常常收到事半功倍的效果。

现就分式运算中的技巧与方法举例说明。

一、 整体通分法例1.化简:21a a --a-1 分析 将后两项瞧作一个整体,则可以整体通分,简捷求解。

解:21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、 逐项通分法例2.计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b- 分析:注意到各分母的特征,联想乘法公式,适合采用逐项通分法解:1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b - =22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b - =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b+----3444b a b - =3444b a b --3444b a b -=0 三、 先约分,后通分例3.计算:2262a a a a +++22444a a a -++ 分析:分子、分母先分解因式,约分后再通分求值计算解:2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2四、 整体代入法例4.已知1x +1y=5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1:∵1x +1y =5∴x y ≠0,、所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57 解法2:由1x +1y =5得,x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法例5.已知a 2-5a+1=0,计算a 4+41a 解:由已知条件可得a ≠0,∴a+1a =5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a)2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法例6.已知b c a += a c b += a b c +,计算:()()()a b b c c a abc+++ 解:设b c a += a c b += a b c+=k,则b+c=ak;a+c=bk;a+b=ck; 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0,a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0,则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时,原式= -1当k=2时,原式= 8七、应用倒数变换法例7.已知21a a a -+=7,求2421a a a ++的值 解:由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a)2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915八、取常数值法例8.已知:xy z ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z+ 解:根据条件可设x=1,y=1,z=-2、 则y z x ++x z y ++x y z+=-3、当然本题也可以设为其她合适的常数。