2020届华中师大附中高三第三次联考数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，2，4}，则A∩B等于A. {1，2，4}B. {2，3，4}C. {1，2}D. {1，2，3，4}2.已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.4.设是公比为的等比数列，且，则“对任意成立”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作2，3，，，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率 6.等差数列的前n 项和为，已知，则7S =A. 13B. 35C. 49D. 637.已知，，则)A.B.C.D.8.7人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐4人，则不同的乘车方法有 A. 35种 B. 50种C. 60种D. 70种9.等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则)A. 12B. 10C. 5D.10.的展开式中的系数为A.B. 1024C. 4096D. 512011.在正方体中，E 是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB 所成角的正弦值的最小值是A. B.C.D.12.已知函数()32231,0{1,0ax x x x f x e x -+≥=+<在[]2,2-上的最大值为5，则 实数a 的取值范围是A. [)2ln2,-+∞ B. []0,ln2C. (],0-∞ D.[)ln2,-+∞第II 卷（非选择题90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为______．14.设0,0,25x y x y >>+=______.15.三棱锥的四个顶点都在球O 上，PA ，PB ，PC 两两垂直，，球O 的体积为______．16.已知双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2， C 的右支上存在一点P ，满足cos ∠F 1PF 2=，且|PF 2|等于双曲线C 的虚轴长，则双曲线C 的渐近线方程为______．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本大题满分12分）V ABC 的内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ． 18.（本大题满分12分）已知四棱锥中，平面，，，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.19.（本大题满分12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装。
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。
在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个元，二级滤芯每个元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个元，二级滤芯每个元。
现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.二级滤芯更换频数分布表以个一级过滤器更换滤芯的频率代替个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以个二级过滤器更换滤芯的频率代替个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为的概率；（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值.20.（本大题满分12分）设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率.21.（本大题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，试判断的零点个数.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求l和C的直角坐标方程；设，l和C相交于A，B两点，若，求的值．23.已知，.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围.数学（理）试题答案1.C2.D3.D4.C5.D6.C7.A8.D9.C 10.C 11.B 12.D13. 14.15.16.y=±x ．17.（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈ 3A π\=（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223s i n31s i n C C ∴=-解得：sin 4C =4因为sin 2sin 2sin 02B C A C =-=->所以sin 4C >，故sin 4C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()464C ππ=+=. 18.解：（1）证明：过点在平面内作，交于点，因为，，所以四边形为一个底角是60°的等腰梯形，所以，所以为中点， 由题知，在中，，又，所以，而， 所以为的三等分点，连接，所以， 又在中，，，所以，所以，所以，又平面，所以， 因为，所以平面．（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以平面的一个法向量为，又由（Ⅰ）知，所以在中，，所以，，，，所以，设平面的法向量为，所以即令，所以，设二面角的平面角为，且为锐角，所以．19.（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换个滤芯，二级过滤器需要更换个滤芯。
设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为”为事件.因为一个一级过滤器需要更换个滤芯的概率为，二级过滤器需要更换个滤芯的概率为，所以.（2）由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为，，的概率分别为，，.由题意，可能的取值为，，，，，并且，，，，.所以的分布列为.（3）【解法一】因为，，若，，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为；若，，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为.故，的值分别为，.【解法二】因为，，若，，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为（单位：元），则. 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：元），则，.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为.若，，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为（单位：元），则.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：元），则.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为.故，的值分别为，.20.(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =，b =2，c =1.所以，椭圆方程为22154x y +=. (Ⅱ)由题意，设()()(),0,,0P P P M P x y x M x ≠.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()02,B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2245200kxkx ++=，可得22045P kx k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P P y k x k-=-， 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-. 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -. 由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭， 化简得2245k =，从而k =所以，直线PB或. 21.（1）函数的定义域为，，令，则，，（i）若，则恒成立，所以在上是增函数，（ii）若，则，当时，，是增函数，当时，，是减函数，当时，，是增函数，（iii）若，则，当时，，是增函数，当时，，是减函数，当时，，是增函数，综上所述：当时，在上是增函数，当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以的极小值为，的极大值为,设，其中，,所以在上是增函数，所以，因为，所以有且仅有1个，使.所以当时，有且仅有1个零点.22.解：，由综上，l的直角坐标方程为，或由C的极坐标方程得，将代入，得，在l上，23.（Ⅰ）法一：不等式，即.可得，或或解得，所以不等式的解集为. 法二：，当且仅当即时等号成立.所以不等式的解集为.（Ⅱ）依题意可知由（Ⅰ）知，所以由的的取值范围是.。