习题8.11•指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程:(3) x2y 4y (sin x)y = 0⑷^P p= sin 2 rd6解(1)1阶非线性(2) 1阶线性 (3) 3阶线性 (4) 1阶线性2•验证下列函数是否是所给微分方程的解/八、亠 sinx (1)xy y = cosx, y =x(2) (4 - x 2)y ' xy = 2x,y = 2 • C" - x 2 (C 为任意常数)(3)y 2y ： y = 0, y 二 Ce x(C 为任意常数)(4) y" — (X , + 丸2 )y ' +餌丸2 y = 0, y = C 4e" + C 2e'2x(C 1 © 为任意常数)(5) (x -2y)y" =2x - y, x 2 - xy • y 2 =C (C 为任意常数)(6)(xy -x)y xy 2yy 1-2y = 0,y = ln( xy)xcosx — sinx sin x 亠解⑴是，左=x2cosx =右 x x(2) 是，左=(4 — X2)-^= + x(2 +C 訥—X 2) = 2x =右訥-x 2(3) 是，左=Ce x-2Ce x Ce x =0 =右(4) 是，左=G ：e ix C 2 2e 2x )-(「-g re 4x C 2 -e 2x ) i 2(Se 4x C 2e»0=右2x — y(5) 是，左=(x - 2y)2x - y 二右2⑴ x(y ) -2yy xy = 02(2) x y - xy y = 0x — 2y(6)是，左=(xy-x)2xy2—xy3；2xy x^^(xy-x) (xy-x)y亠-2亠xy _ x xy _ x2xy 2_xy3_2xy xy 2 (xy-x)2(xy-x)2=右3•求下列微分方程的解(3)(1 y)dx -(1 -y)dy 二 0解(1) dy = 2dx, y = 2x C (2)y dx 二 cosxdx, y = sinx C 1Jy"dx = f( si x + CJdx,y = _cox + Gx+C 21-y-(1 + y)+2(3)dy 二 dx dy 二 dx1+y』1 + y2解得 -dydy 二 dx • 1 + y即「y 2ln 11 y x Cdx2 2 2解得 ln(1 y ) = ln(1 x ) 64•已知曲线y 二f (x)经过原点，并且它在点 (x,y)处的切线的斜率等于 2x 2，试求这条曲 线的方程。

解已知y —2x 2又知曲线过原点，得C =所求曲线方程为厂»32(y -2y)(xy — x)=0⑴餐2 ;dx⑵d4 二 cosx ； dx(1 y 2)x2(1 x )y整理得1 y 21 x 21. 用分离变量法求下列微分方程的解⑴ y =4x 、y2 2(4) sec xtan ydx sec ytan xdy 二 0整理得 tanx tany =C1 2 1x(1 x)dx 解得 y y2 3由于 y|x=0 = 0 贝V C =-32—y 2x原方程解为 2e = 3 - e 2. 求下列齐次方程的解" y (1) xy = yinx习题8.2匚dx_丄dy-0,y |x- 1(6)y- e y ,y |x~ 02x-y 解（1） 1——dy 二 4xdx解得 y = (x2• C)2dy dxyiny解得 y 二e Cx 10—ydy二10x dx 解得-10_^10x C 即 10x10」=C2sec y tanydy2sec x .dx tan x 解得 in |tan y - in |tan x | C 1由于y|x£=1则与】y323，解得-x 33e 今dy = j e 2xdx 解得 -e-y12xe C 2(3) xy - y -、y2- x 2 = 0x 2dy = (y 2xy x 2 )dx(2) xy‘- yin y = 0⑶八10x yy(i y)dy 二 r 3 Cdy dx-，代入方程得xIn | In u 「1| = In | x | 6I In u -11= C 2 I x |将u 二上回代，即得原方程通解x(2)原式可化为令u =上，代入方程得x(5) y2x 2巴=xy 也 dx dxdx x(x 2y)y 一 y 2二 0, y|xj = 1分离变量得 两边积分得duu x — dx ulnudu dxu(ln u -1)In — 一1 =Cx x分离变量得 两边积分得 arcta ndu 1 uu x 一 =dx(1 - u)du 1 u 2dxu-丄ln(1 u 2^ In |x| C 1 2 整理得dy dx将u = y回代，即得原方程通解2y y 22arctan —— ln(4 + 弋)=In x +C整理得2 arctan — -ln( x2+ y2) = Cx(3)原式可化为业站竹_1dx x \(X 丿令u ='，代入方程得xdu 2x u -1dx分离变量得du dx.u2 -1x两边积分得In | u u2-1 In | x | C1即| u u2-1 C | x |y将U 回代，即得原方程通解x(4)原式可化为; _y+1 dx x x令u ='，代入方程得x+ du 2u x u - u 1dx分离变量得du dx2u -2u 1 x两边积分得y回代，即得原方程通解xx =Ce x_yudx x(1 - u)du 二01 -u令u二'，代入方程得xdu u2u x一dx 1 + 2u1 -uiX =Ce口=l n | x| C1y2（xj y）加0dy =dx—u,则u x d udx u -12xy -xxu原式可化为C<-u=e=cedydx x22xy_yx1 2x分离变量得(1 2u)duu u2两边积分得将u = y回代，即得原方程通解x2y 亠xy = Cx将ylxj =1代入得C=2于是，特解为2y xy =2x习题8.3 1•求下列微分方程的通解(1) -Xy y 二e (2) xyy =x2 3x 21 -2xy 二1⑶(x 1) y 2xy 二4x ⑷y 2x⑸yin ydx (x「In y)dy 二0 ⑹(2x - y2)y =2y解(1)这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程翌y=0 dx的通解。

分离变量得dy . dx y两端同时积分，得In|y|—x C1得通解为y = Ce »用常数变易法，把C换成C(x),即卩y 二C(x)e”两边微分，得鱼二C (x)e~x -C(x)e^ dx代入原方程，得C (x)二1两端同时积分，得C(x)二 x C故所求微分方程通解为其中C 为任意常数。

12 ⑵ P(x) ,Q(x) = x 3— xx八x!一= e 」n|x| '■ (x 2 - 3x 2)dx C 1 1 1 3 3 2x 3 — x 2 2x Cx 3 2或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程鱼」=0dx x的通解。

分离变量得dy dx y xC y— x用常数变易法，把 C 换成C(x),即卩C(x)两边微分，得dy C (x)x _ C(x) dx x 2-P(x)dxJ〕Q(x)e 」 P(x)dxJdx + C j两端同时积分，得得通解为In | y|二-In | x | C 1代入原方程，得两端同时积分，得 故所求微分方程通解为 其中C 为任意常数。

2x P(x)二厂,Q(x)-P(x)dx」 JQ(x)e 」C (x) = x 2 3x 2C(xT x-x 2 2x C21 3 xyd4x 2x 2 1P(x)dx」 dx + C jIE L「心1丿 弋皿21)〔4x 2dxC 】亠 4x 3 Cx 2 1 32x2 dx x 21二 e 4x 1 一 2x P( x) 2 ,Q(x) =1x y =e -P(x)dxJ (Q(x)e 」1x 2e xi x 2e x 1 2e x 3 2-x 2x C 2 x雳dxdx + JP(x)dxx Ci_ e xC ln x 2=e引j e E d dx + d12 x =x e 厂1fe^d U\C< x J 丿 1x dx C 「1 1 Ce x十、一，dx , x 1原式可化为 -dy yln y yP(y)111,Q(y) = — yln y yP(y)dydy + Cdx x y1y⑹原式可化为p(yH--,Q(y^--_P(y)dyP(y)dy .J[Q(y)e dy + C2•某种商品的消费量 X 随收入I 的变化满足方程 dX-Xae 1(a 是常数)dI当I =0时，X = X 0，求函数X = X (I )的表达式。

rl V解原式可化为 —— X =ae IP(I ) = -1,Q(I ) = ae 1dl一［P(I)dI 一|P(I )dI则 X =eQ(I)e dI C=e "ae 〔edI C = e I - adI e I 'aI C 丨又当 I =0 时，X =X o ，得 C =X o 则原方程解为^e I 'aI - X 0 1习题8.41•某商品的需求函数与供给函数分别为Q d =a -bP,Q s - c - dP (其中 a,b,c,d,均为正常数)十yJyln y=e1. y Iny_e y1dydy + C_Ln|lny|=e 1 ln|ln y|7dy C1In yInydy C y 1 In ylln 2 <2MJ二 eln|y|y 1 =|y| J — --- dy+C =C 2|y| 丿 刘C假设商品价格P是时间t的函数，已知初始价格P(0) = P0，且在任一时刻t,价格P(t)的(1)求供需相等时的价格P e (均衡价格)(2)求价格P(t)的表达式(3)分析价格P(t)随时间的变化情况解(1)当Q d二Q s时，即a -bP - -c dP，得P = P e 二(2)由于竺=k(Q d—Q s)二k[(a — bP) —(—c dP)]，即dtdP『—ac)方程通解为P = — . ce 上(b d)t = P e ce*b d)tb d已知价格P(0) = P g，代入得C二P° - P e，于是P(t)二P e (P。

-P e)e 山「小(3)由于!imP(t)=t jimiP e +(P。

—R)e」(b切I- P ep=1时，需求量Q=1，试求需求函数关系。