2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题
（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上
1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k .
答案： 220122-（或4048142）
解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--
2. 函数()sin()sin()cos 366
f x x x x ππ
=++--+的最小值等于 . 答案：1
解：因为
所以)(x f 的最小值为1. 3. 已知 1()2bx f x x a +=
+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x
⋅=为常数，则k 的值为 . 答案：1.4
解：由于 是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14
k =. 4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 . 答案：9(,2).4
-- 解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=.
根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.
令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.43 1.2
p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩
解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22
U . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--. 5. 将25个数排成五行五列：
已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，
5j a （15j ≤≤）
都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.
答案：11-
解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等. 由412a =-,4310a =知4210(2)42
a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .
若2=q ，则113214
a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-； 若2-=q ，则113214
a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-. 6.设点P 在曲线12
x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.
ln 2)-. 函数12
x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称. 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =
的距离为d =.
设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=. 由图象关于y x =对称得：PQ
最小值为min 2ln 2)d =-.
7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小
方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .
答案：3960
解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.
其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；
2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有1216
91672C A =⨯种. 所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.
8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .
答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123
h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405
a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.
注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563
h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为
=39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．（本小题满分16分）设椭圆22
22+=1x y a b
(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的
斜率k 满足||k >.
解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =
，有a =， 即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分
从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a a b a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩
所以，1cos 02
θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.
所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分 解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.
则线段OP 的中点(cos ,sin )22
a b Q θθ. ||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-. sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ
=⇔-=+. ……8分
||||AQ k k ⇔<⇔> ……16分 2．（本小题满分20分） 设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求 的最大值.
解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.
……………5分
根据AM-GM 不等式可得
……………15分
所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .
……………20分
3．（本小题满分20分）求出所有的函数**
:f N N →使得对于所有x ，y *N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除. 解：根据题目的条件，令1==y x ，则2
((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除. 因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且
(1)1(1)1f f +>-，所以(1)10f -=，(1)1f =.
……………10分
令1=y ，则2(())1f x +能被2
1x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *
N ∈.
令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.
……………20分。