补充阅读材料（例题） 属性闭包的计算例1设关系模式R 的属性集U={A,B,C,D,E,G},F={AB →C,BC →AD,D →E,CG →B}是R 上的函数依赖集.求{A,B}关于F 的闭包，即{A,B}F +。

解： 从X={A,B} 出发，X(0)=AB 。

(1) 左部为X(0)子集的函数依赖只有AB →C ，X(1)=AB ∪C =ABC(2) 左部为X(1)子集而未检查的函数依赖只有BC →AD ，X(2)=ABC ∪AD =ABCD (3) 左部为X(2)子集而未检查的函数依赖只有D →E ，X(3)=ABCD ∪E =ABCDE已经不存在左部为X(3)的子集而未检查的函数依赖。

因此，{A,B}F +={A,B,C,D,E}注意到函数依赖CG →B 没有用上，因为它的左边没有包含在{A,B}F +中。

函数依赖集的最小化例2 设F={A →BC,B →AC,C →A},对F 进行极小化处理解：(1) 根据分解规则，把F 中的函数依赖转化成右部都是单属性的函数依赖集合，分解后的函数依赖集仍用F 表示F={A →B, A →C,B →A, B →C,C →A} (2) 去掉F 中的冗余函数依赖 判断A →B 是否冗余。

设G1={A →C,B →A, B →C,C →A},得 A G1+=AC因+∉1G A B ，所以A →B 不冗余。

判断A →C 是否冗余。

设G2={A →B,B →A, B →C,C →A},得 A G2+=ABC因+∈2G A C ，所以A →C 冗余（以后得检查不再考虑A →C ）。

判断B →A 是否冗余。

设G3={A →B, B →C,C →A},得 B G3+=ABC因+∈3G B A ，所以B →A 冗余（以后得检查不再考虑B →A ）。

判断B →C 是否冗余。

设G4={A →B, C →A},得 B G4+=B因+∉4G B C ，所以B →C 不冗余。

判断C →A 是否冗余。

设G5={A →B, B →C},得 C G5+=C因+∉5G C A ，所以C →A 不冗余。

由于该例中的函数依赖表达式的左部均为单属性，因而不需要进行第三步的检查。

上述结果为最小函数依赖集，用F m 表示：F m ＝{A →B, B →C,C →A}若依次按A →B ，B →C 的顺序判定函数依赖是否冗余，则得到最小依赖集：F m2＝{A →B, B →A, A →C,C →A}。

这说明最小依赖集不唯一，与对各函数依赖FDi 及X →A 中X 各属性的处置顺序有关。

同时注意到，在此例中A 、B 、C 是一一对应的。

例3 求F={AB →C,A →B,B →A}的最小函数依赖集F m解：(1) 将F 中函数依赖都分解为右部为单属性的函数依赖。

显然，F 已满足该条件。

(2) 去掉F 中冗余的函数依赖。

判断AB →C 是否冗余。

设},{1A B B A G →→=，得AB AB G =+1)(∵ +∉1)(G AB C ， ∴ AB →C 不冗余。

判断A →B 是否冗余。

设},{2A B C AB G →→=，得A A G =+2)(∵ +∉2)(G A B ， ∴ A →B 不冗余。

判断B →A 是否冗余。

设},{3B A C AB G →→=，得B B G =+3)(∵ +∉3)(G B A ， ∴ B →A 不冗余。

经检验后得函数依赖集仍然为F 。

(3) 去掉各函数依赖左部冗余得属性。

本题只需考虑AB →C 的情况。

方法一：在决定因素中去掉B ，若+∈F A C ，则以A →C 代替AB →C 。

求得：ABC A F =+。

∵ +∈F A C ∴ 以A →C 代替AB →C 。

故，F m ＝{A →C, A →B,B →A}方法二：也可在决定因素中去掉A ，若+∈F B C ，则以B →C 代替AB →C 。

求得：ABC B F =+。

∵ +∈F B C ∴ 以B →C 代替AB →C 。

故，F m ＝{B →C, A →B,B →A}例4 F={BE →G,BD →G,CDE →AB,CD →A,CE →G,BC →A,B →D,C →D}，求Fmin. 解： （1） 先分解右边F={BE →G,BD →G,CDE →A, CDE →B,CD →A,CE →G,BC →A,B →D,C →D} (2) 判断每个函数依赖，是否冗余。

F={ BD →G, CDE →B,CD →A,CE →G, B →D,C →D} (3) BDG B F =+, 包含G ，用B →G 代替BD →GD D F =+，未包含G ，不能用D →G 代替BD →G CEBDGA CE F =+)(，包含B ，用CE →B 代替CDE →B CDA C F =+)(，包含A ，用C →A 代替CD →AFmin ＝{B →G,CE →B,C →A,CE →G,B →D,C →D } 候选码的确定确定关系模式的候选码是进行规范化分析的出发点，有下述准则可以使用： 关系R(U,F)中，F 是最小函数依赖集。

准则1：如果属性A 只在F 中各函数依赖的左端出现，则A 必是码中的属性； 准则2：如果属性A 只在F 中各函数依赖的右端出现，则A 必不是码中的属性； 确定候选码的步骤是：(1) 对于关系模式R(U,F)，求F 的最小函数依赖集，仍用F 表示。

(2) 根据准则1，确定码中必须有的属性集(设为M)。

(3) 根据准则2，去掉码中没有的属性集。

(4) 确定余下的属性集(设为W)。

(5) 从M 开始，令K ＝M ，如果U K F =+，K 就是候选码。

否则从W 选择属性加入到K 中，直到U K F =+，K 就是候选码。

(6) 注意可能有多个候选码。

例5 设R(U,F),U=ABCDEG,F={BE →G,BD →G,CDE →AB,CD →A,CE →G,BC →A,B →D,C →D}，求R 的码。

解：(1) 求得 Fmin ＝{B →G,CE →B,C →A,CE →G,B →D,C →D } (2) 只在左端出现的属性CE (M=CE)。

(3) 只在右端出现的属性ADG 。

(4) 余下的属性B (W=B)。

R 的候选码只可能是CE 、CEB 。

经计算ABCDEG CE F =+)(，因此R 的码是CE 。

模式分解对模式分解的两个基本要求(1) 避免信息丢失：无损连接性； (2) 避免数据关系丢失。

分解具有无损连接性和分解保持函数依赖是两个相互独立的标准。

无损分解决定一个关系是否可分解，保持数据依赖决定一个关系分解的好坏。

算法6.2 判别一个分解的无损连接性若},,,,{111><><=k k k F U R F U R ρ是R<U ，F>的一个分解，},,,{21n A A A U =，},,,{21m FD FD FD F =，不妨设F 是一极小依赖集，记i FD 为i A X i 1→。

(1) 建立一张n 列k 行的表。

每一列队应一个属性，每一行对应分解中的一个关系模式。

若属性j A 属于i U ，则在j 列i 行交叉处填上j a ，否则填上ij b ；(2) 对每一个i FD 做下列操作：找到i X 所对应的列中具有相同符号的那些行。

考察这些行中i l 列的元素，若其中有i l a ，则全部改为i l a ，否则全改为i ml b ，m 是这些行的行号最小值。

如在某次更改后，有一行成为n a a a ,,,21 。

则算法终止。

ρ具有无损连接性，否则ρ不具有无损连接性。

对F 中m 个FD 逐一进行一次这样的处置，称为对F 的一次扫描。

(3) 比较扫描前后，表有无变化。

如有变化，则返回第(2)步。

否则终止算法。

定理 6.5 对于R<U,F>的一个分解},,,{222111><><=F U R F U R ρ，如果+∈-→⋂F U U U U 2121或+∈-→⋂F U U U U 1221，则ρ具有无损连接性。

定义6.19 若+=+⎪⎭⎫⎝⎛=⋃i k i F F 1，则R<U,F>的分解},,,,{111><><=k k k F U R F U R ρ保持函数依赖。

引理6.3 给出了判定两个函数依赖集等价的可行算法。

因此引理6.3 也给出了判别R 的分解是否保持函数依赖的方法。

例 6 关系模式R={CITY ,ST,ZIP},其中CITY 为城市，ST 为街道，ZIP 为邮政编码，F={(CITY ,ST) →ZIP,ZIP →CITY}。

如果将R 分解成R1和R2，R1={ST,ZIP},R2={CITY,ZIP}，检查分解是否具有无损连接和保持函数依赖。

解：(1) 检查无损连接性方法一：求得R1∩R2={ZIP} ; R2-R1={CITY}.∵ (ZIP →CITY)∈F + （即 R1∩R2→ R2-R1∈F +）∴ 分解具有无损连接性 方法二：构造判定矩表T ，如下图：R1(ST,ZIP) 由FR1(ST,ZIP)(2) 检查分解是否保持函数依赖求得 ΦF R =)(1π ； }{)(2CITY ZIP F R →=π。

∵ ()()+++≠→=F CITY ZIP F F R R }{)()(21ππ∴ 该分解不保持函数依赖。

可求得R 的两个候选码为(ZIP,ST),(CITY ,ST)。

只在左端出现的属性为:ST ，候选码必包含ST ；其它属性为：CITY 、ZIP 。

因 ST ST F =+)(，),,(),(ZIP ST CITY ST ZIP F =+，),,(),(ZIP ST CITY ST CITY F =+故 R 有两个候选码：(ZIP,ST),(CITY ,ST)例7 设关系模式R 的属性集U={A,B,C,D,E},F={A →B,B →C,D →E}是R 上的函数依赖集，ρ={R1(A,B,C),R2(A,D,E)}是R 上的一个模式分解。

(1) 求函数依赖集F 的闭包F +中非平凡的函数依赖子集F *；(2) 求函数依赖集F *在关系模式R1、R2上的投影； (3) 判断分解ρ是否具有无损分解；(4) 判断分解ρ是否具有函数依赖保持性。

解：(1) 求函数依赖集F 的闭包F +中非平凡的函数依赖子集F *对F 中的函数依赖A →B ，求属性集A 关于F 的闭包 从X={A} 出发，X(0)=A 。

左部为X(0)子集的函数依赖只有A →B ，X(1)=A ∪B =AB左部为X(1)子集而未检查的函数依赖只有B →C ，X(2)=AB ∪C =ABC 左部为X(2)子集而未检查的函数依赖已不存在，故},,{C B A A F =+ 同理，},{C B B F =+，},{E D D F =+由},,{C B A A F =+，},{C B B F =+，},{E D D F =+得},,,{*E D C B C A B AF →→→→= (2) 求函数依赖集F *在关系模式R1、R2上的投影；因R1(A,B,C),},,,{*E D C B C A B AF →→→→=，所以},,{1C B C A B A F →→→= 因R2(A,D,E)，},,,{*E D C B C A B A F →→→→=，所以}{2E D F →= (3) 判断分解ρ是否具有无损分解 方法一：构造判定矩表T ，如下图：由F由F方法二：}{21A R R =⋂，},{21C B R R =-，由已知可得A →B ，A →C ，因而A →BC ，即+∈-→⋂F R R R R 2121，故分解ρ具有无损连接性。