关于动态规划方法的最优消费路径有些学者从微观经济理论的角度探索消费和投资的最优比率。

例如，Phelps构建了不确定收入下的最优消费率［2 ］。

基于这一模型，Me r t o n以布朗运动模拟不确定收益，利用动态规划建模的方式，求出在连续时间假设下获得最大消费效用的消费和资产投资组合［3 ］。

然而M e r t o n的模型采用了P r a t t的绝对风险厌恶度(absolute risk aversion)［4］, 即假设投资者的风险偏好是和年龄、财富无关的常数，从而把家庭总财富比率设计成常数。

为了改进过于严格的常系数风险厌恶假设，F a r h i和Pan — ageas假设投资者可以通过控制退休时间来调整劳动供给，从而实现最优消费和投资［5］。

另外有些学者拓展了M e F t o n等人的模型，如Ilakansso n和Ri c h a r d研究了存在保险时的生命周期最优消费［6 ］［ 7 ］； Karat z a s使用鞅方法研究了个人如何选择消费率来实现消费和财富效用最大化［8 ］；B o d i e等人探讨了退休期间的最优消费投资问题［9］。

有些学者则从宏观经济学的角度阐述消费和投资对消费效用最大化的影响。

李嘉图的古典消费理论强调了消费对经济的刺激。

凯恩斯绝对收入假说认为消费主要取决于当期绝对收入，平均消费倾向(APC)随收入增加而减少。

按此假说，一战后，美国人民收入增加，储蓄应随之增加。

但是，K u z n e t s实证研究发现战后储蓄并未增加，长期A P C稳定［10］。

为解析上述矛盾现象，D u esenberr y提出相对收入假说，家庭会比较其他家庭的收入, 即相对水平，来决定自己的消费水平［1 1 ］ ( P 3 )。

相对收入假说的缺陷在于家庭的消费是短视行为，没有考虑未来收入。

为克服相对收入假说存在的问题，F r i e dma n提出了家庭将根据终生收入来决定消费的持久收入假说［1 2］ (P 2 6 - 1 3 5 )。

内生增长理论被广泛用于分析投资和消费的最优分配。

该理论假设在生产过程中的规模收益不变，即凸性生产技术，经济增长的决定因素是生产要素, 生产率是由模型内生所决定的，而不是由资源、人口等外部因素决定。

典型的内生增长模型有A K模型、R e b e 1 o模型等［13］。

曾经有人质疑AK模型是否可以用来评估经济增长。

Jones 建立了技术为常数的A K模型，对函数关于物质资本和人力资本求最大值，并基于1 9 5 0〜1 9 8 8年加拿大、法国、德国等1 5个0 E C D国家的时间序列数据，研究发现战后投资额同经济增长无关, 并由此推断AK模型对投资和经济增长关系的预测是短期的或不正确的［14］。

为了反驳A K 模型不适用于研究经济增长的结论，M c G r a t t a n建立了技术为常数的A K模型，对函数关于消费和资本求最大值。

M c G r a t t a n用187 0〜1989年1 1个国家的数据验证了投资率和经济增长之间的正相关关系，证明政府投资诱导政策会永久性影响经济增长［15］°McG 「at-tan 发现J o n e s之所以用AK模型测不出投资和经济增长的相关性, 一是数据期限短，二是模型设计存在缺陷。

M c G r a t t a n的模型假设如下：(1)代表性家庭选择投资和消费，从而实现生命周期效用最大化；(2 )家庭有两种资木，分别是结构资木和设备资木，家庭收入来源于把结构资木和设备资木租给公司的租金；（3）家庭收入要向政府缴纳稅收，因此政府政策可以影响投资产出比和劳动闲暇选择。

这样一来，M c G r a t t a n就解释了Jones观察到的投资增加而产出稳定的短期离差，并从理论和实证角度验证jAK 模型的有效性。

木文在持久收入假设和内生增长理论框架下，研究经济增长的最优消费投资比率，从理论上指导国民收入的合理分配。

之所以选择资本产出弹性为单位弹性的A K模型，是因为资本对发展中国家很重要。

发展中国家可以通过购买技术先进的国家的设备得到知识，这种由投资带来的技术溢出可以加速整个国家的现代化。

另外, 由于行业间存在溢出效应，当资本提高某个行业的生产率时，与之相关行业的生产率也随之提高[16],所以不仅要考虑资本对单个行业的作用，还需要考虑资本的社会回报。

L j u n g q v i s t和S argent建立的A K模型与本文有类似的目标函数y t = A k a t ,也猜测了相同的值函数形式，并得到了类似的策略函数[1 7 ], 但本文与之不同的是：第一，他们假设资本产出弹性大于零而小于1（0 <a< 1 ）,从而使资木边际效用递减，通过数学推导发现资木收敛，而本文假设资木产岀弹性等于1 （a= 1）,从而使资本没有边际效用递减，通过数学推导发现资木不收敛，而值函数收敛；第二，木文考虑了资本折旧；第三，木文通过真实数据，再现改革开放以来消费和投资对提高社会效用的贡献。

本文余下部分的结构安排如下：第二部分建立包含资本折旧率和贴现因子的最优消费模型，通过猜解求出策略函数，讨论了消费、资木积累序列的意义，并通过求导分析了各变量对值函数的影响；第三部分比较了不同贴现因子下的值函数, 并用三维效果图展示了1 9 7 8〜2 0 1 0年中国消费、资本和值函数的演变关系；最后是木文的结论。

模型木文考虑生产单一商品的经济，此商品既可消费又可投资，投资以资木的形式体现，消费品和资本品可以相互转换。

消费数量和消费投资比决定代表性行为人的效用，社会计划者的目标是通过政策引导消费路径，使代表性行为人在任意时期都能获得最大效用。

经济增长由资本驱动，因此设生产函数为y t=Ak t,其中A反映技术水平, y t、k t和c t分别表示在时期t的生产量、资本存量和消费。

对于任意t期，有c t > 0 , k t > 0 ；且初始资本k 0己知。

由此，可得模型：max》！t = OBtln c ( t ) s. t . kt + l= y t + 1 — (6) k t — c t , y t = A k 烦姣怖t ( 1 )其中6 为资本折旧率，0 1 ； p为贴现因子，0 <B< 1 ; pt In c(t )是消费效用。

式(1 )是终生消费效用，资本积累规则为下期资本的数量取决于本期的有效商品总供给和木期的消费。

令f k(t)=Akt + l— (6) kt=(A+l—6) k t 表示包含资本折旧的有效商品总供给，则式(1 )可转化为：max》！t = Opt1 n c ( t ) s. t ・kt + l = f ( k t ) — c t , f (k t ) = ( A+ 1 -6) k畑煖灼t (2 )式(2 )目标函数的含义是代表性行为人追求一生消费的贴现效用最大化，其中消费c t是控制变量，资木k t 为状态变量。

由约束条件k t + 1 = f (kt)- c t ,可得c t = f ( k t ) -k t + 1 ,即控制变量可表示为状态变量的函数。

求式(2 )的最优解，就是在给定约束条件下，找到一个恰当的序列c t , k { t +1 } ! t = 0 ,使目标函数刃t = 0 Bt 1 n (ct)取得最大值。

(一)猜解求值函数和策略函数为方便求极值，将式(2)由离散形式转化为连续形式，并定义值函数()V k为投资者在给定财富下所能达到的期望终生总效用。

在竞争性均衡中投资者的效用得到了最大化，则根据汉密尔顿一雅可比一贝尔曼方程(II ami 1 ton—Jacobi—Be 1 Iman e q ua t i on,IIJBE)可得：()V k=ma x k z() 1 n [ f k-k]z +p {V (k)}，()=ln [f k - g ( k )] +pV[g (k)] (3)式(3 )中，k是当前时期的资本存量(相当于k t ), k '是下一时期的资本存量(相当于k t + 1 )o g ( k ) 是利用II J B E进行递归迭代的策略函数，且g ( k ) = k \表示计划者而临的决策为：究竟是应该用政策引导代表性行为人当期多消费一些，还是当期少消费，留作下一期的资木，从而使下一期能消费更多。

()V k和g (k)都是连续可微的。

根据动态规划理论，可猜测值函数的形式为：()()V k = E + F 1 n k (4 )其中，E、F是待定常数。

对式(3 )和(4 )计算一阶最优的必要条件, 并根据式(2 )可得：g ( k ) = k 7 =pF A+ 1 - (6) k 1 + pF (5)() c = f k - k 7 =A+1 —(6) k 1 +pF (6)式(5)是策略函数g (k)关于k的显式解，F是待定系数。

(二) 最优消费、资本累积序列令n = 1 ,式(3 )变成式(7 )。

由式(2 ) 可知当t = 1时，以下两式成立：V 1 () k=maxk'() 1 n f k-k (7) VI ()k=maxk, () 1 n f k - k [丁+pV 0 k ()z ( 8 )式(7 )是目标函数(2 )的最大值, 即社会计划者最优问题中的值函数；式(8 )表示代表性行为人一生的效用贴现值等于当期效用、未来效用的贴现值之和。

当期消费和期末资本的选择c, k { 丫产生了当期效用1 n ( c ),下期的资本k ' 将按照策略函数g( k )来选择。

此处可获得的最大期望效用是V k()',而k‘的贴现值为pV 0 k ()\类似的，利用式(5)、式(3 )逐期递归迭代可得到值函数V n () k序列。

对任意t期，有：V n () k=》n— 1 i = l (p) i — 1 1 n A + 1 —6 1 +p () F +p n — lln (A+l—6)+ — lj=lj (p)j 1 n pF A+l — (6)l+p[]F+》ns = l(B)s — 1O 1 n k由于0 ＜卩＜1 ,根据级数理论容易证明：当nT!时,V n () k是收敛的，且其极限值()V k = 1 i m n V n ()k就是无穷序列的唯一解。

也就是说，得到的函数方程与式(4)的猜测完全符合。

可以解出E= 1 1 —[3 1 n ( 1 -)pA+ 1 -[(6)] + 卩1 一(p) 2 1 npA+ 1 - [(6)], F = 1 1 -p o将E 和F代入式(4 )可得到函数方程(3 )的具体表达式和相应的策略函数：()V k = 1 1 一卩1 n ( 1 —)卩A + 1 — [(6)] +B 1 —(卩)21 npA+ 1 - [(6)] + 1 1 -p () In k ( 9 ) g ( k ) =p A+ 1 - (6) k ( 1 0 )式(9 )也就是式(1 )的解。