由 BF⊄面 B1D1E，
D1E⊂面 B1D1E， ∴BF∥面 B1D1E.
2.2.2
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又 BD∥B1D1.
同理可得 BD∥面 B1D1E.
又∵BF∩BD＝B， ∴由平面与平面平行的判定定理得平面 BDF∥平面 B1D1E.
小结
(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到
两条相交直线平行于另一个平面． (2)判定两个平面平行与判定线面平行一样， 应遵循先找后作
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是平行的．
问题 2
答
问题 3
三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三
通过试验得出不一定平行．
三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如
角板或课本所在平面与桌面平行吗？
何呢？
答
当三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时，这个三
角板所在平面与地面平行．
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∴平面 D1BQ∥平面 PAO.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2
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1．已知 A、B 是平面 α 外的两点，则过 A、B 与 α 平行的平面
0或1 个． 有___________
解析 当直线 AB 与平面 α 相交时，不存在 A、B 与平面 α
平行的平面；当直线 AB∥α 时，有且只有一个平面过 A、B 与平面 α 平行．
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2.2.2
2．直线 l∥平面 α，直线 m∥平面 α，直线 l 与 m 相交于点 P， 且 l 与 m 确定的平面为 β，则 α 与 β 的位置关系是 A．相交 C．异面 B．平行 D．不确定 ( B )
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解析
因 l∩m＝P，所以过 l 与 m 确定一个平面 β.
又因 l∥α，m∥α，l∩m＝P， ∴β∥α.
2.2.2
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1．证明平面与平面平行的一般思路为：要证面面平行，只要 证线面平行，而要证线面平行，只要证线线平行．在立体几 何中，往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问 题得到解决． 2．证明面面平行，常用平行公理、三角形中位线定理、构造 平行四边形等来证明．
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填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
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1．平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面平行，则
这两个平面平行．用符号表示为 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P,
a∥α，b∥α⇒β∥α
.
2．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 平面内的
的原则， 即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交 直线，若找不到再作辅助线．
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跟踪训练 2 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO?
线线平行⇒线面平行
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问题 2
答
2.2.2
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
(1)平行 (2)相交
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α∥β
α∩β＝a
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问题探究点一 问题 1 答 平面与平面平行的判定
2.2.2
生活中有没有平面与平面平行的例子呢？ 教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也
答 分两种情况讨论： (1)如果平面 β 内的两条直线是平行直线, 平面 α 与平面 β 不一定平行.如图,AD∥ PQ,AD∥平面 BCC′B′,PQ∥BCC′B′, 但平面 ABCD 与平面 BCC′B′不平行．
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(2)如果平面 β 内的两条直线是相交的 直线，两个平面一定平行．如图，平 面 ABCD 内两条相交直线 AC，BD 分 别与平面 A′B′C′D′内两条相交直线 A′C′，B′D′ 平行，由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线 AC，BD 都与平面 A′B′C′D′平行．此时，平面 ABCD 平行于平面 A′B′C′D′.
小结 判定定理可得出一个推论:如果一个平面内有两条相交直 线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.
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问题探究点二 问题 平面与平面平行判定定理的应用
2.2.2
平面与平面平行的判定方法有哪些？
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答
(1)利用定义：证两个平面没有公共点；
(2)面面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(4)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的 两条相交直线，那么这两个平面平行．
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例1 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1，
2.2.2
求证：平面 AB1D1∥平面 C1BD.
证明
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因为 ABCD—A1B1C1D1 为正方体，
证明 如图，取 BB1 的中点 G， 连接 EG、GC1,则有 EG∥A1B1.
又 A1B1∥C1D1，
∴EG∥C1D1.
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∴四边形 EGC1D1 是平行四边形，
∴D1E∥GC1.又 BG∥C1F，
∴四边形 BGC1F 为平行四边形，
∴BF∥C1G， ∴BF∥D1E，
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小结 平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．这个定理可简 单记为线面平行，则面面平行．
2.2.2
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问题 6
2.2.2
如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？
答
符号表示：a⊂β，b⊂β，
a∩b＝P,a∥α，b∥α⇒α∥β 图形表示： 问题 7 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平
面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？为什么？ 答 平行． 因相交直线中的一条平行于另一个平面内的一条直
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线，由直线与平面平行的判定定理知，这条直线平行于另一个 平面，同理相交直线中的另一条直线也平行于另一个平面，即 一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行， 所以由平面 与平面平行的判定定理知，这两个平面平行．
2.2.2
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解
当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ∥平面 PAO.
∵Q 为 CC1 的中点，P 为 DD1 的中点，
∴QB∥PA.又∵AP⊂平面 APO，QB⊄平面 APO.
∴QB∥平面 APO. ∵P、O 分别为 DD1、DB 的中点，
∴D1B∥PO.
同理可得 D1B∥平面 PAO，又 D1B∩QB＝B，
2.2.2
2.2.2
平面与平面平行的判定
【读一读学习要求，目标更明确】 理解并掌握两平面平行的判定定理，会用这个定理证明两个 平面的平行． 【看一看学法指导，学习更灵活】 通过观察空间中平面与平面平行所用到的实物及模型， 归纳抽象出两平面平行的判定定理，进一步培养空间问题平 面化的思想及数学中化归与转化的思想方法．
问题 4
答
2.2.2
平面 β 内有一条直线与平面 α 平行，α，β 平行吗？
平面 α，β 不一定平行．如右图，借
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助长方体模型,平面 ABCD 中直线 AD 平 行平面 BCC′B′,但平面 ABCD 与平面 BCC′B′不平行．
问题 5 平面 β 内有两条直线与平面 α 平行，α，β 平行吗？
所以 D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1.
又 AB∥A1B1，AB＝A1B1，
∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，
∴D1C1BA 是平行四边形，
∴D1A∥C1B，又 D1A⊄平面 C1BD，C1B⊂平面 C1BD，
由直线与平面平行的判定，可知 D1A∥平面 C1BD，
同理 D1B1∥平面 C1BD，又 D1A∩D1B1＝D1，
两条相交直线
,那么这两个平面平行．
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2.2.2
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复习回顾 问题 1
答
到现在为止，我们一共学习过几种判断直线与平面平
(1)定义法；
行的方法呢？
(2)直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，则该直线与此平面平行． a⊄α b⊂α⇒a∥α a∥b
所以，平面 AB1D1∥平面 C1BD.
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2.2.2
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小结
证明两个平面平行的一般步骤为：第一步：在一个平
面内找出两条相交直线；第二步：证明两条相交直线分别平 行于另一个平面；第三步：利用判定定理得出结论．
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跟踪训练 1 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、P、Q、R 分别是图中棱的中点. 求证：平面 PQR∥平面 EFG.
证明 ∵PQ∥A1C1∥AC∥EF，
2.2.2
PR∥平面 EFG. 又 PQ∩PR＝P， ∴平面 PQR∥平面 EFG.
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例 2
2.2.2
已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AA1、
CC1 的中点，求证：平面 BDF∥平面 B1D1E.