周期性
类型一：判断周期函数
1.求下列函数是否为周期函数
（1），满足
（2），满足
（3），满足
（4），满足
答案：
（1）令∴∴
∴T=2周期函数
（2）
∴T=4周期函数
（3）∴T=4
（4）
∴T=8
类型二：求值
1.已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为() A．－1 B．－2
C．2 D．1
解析：选A因为f(x)是奇函数，且周期为2，所以f(－2 013)＋f(2 014)＝－f(2 013)＋f(2 014)＝－f(1)＋f(0)．又当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(－2 013)＋f(2 014)＝－1＋0＝－1.
2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．（对定义域的运用）
解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，
∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.
∴a＝1.
f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)． f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1. 答案：－1
3.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －
1， x ≤0，
f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 016)＝________.
解析：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，进而f (2 016)＝f (336×6)＝f (0)＝3－1
＝1
3
. 答案：13
4.已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >1
2时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝______. （转化） 答案 2
解析 当x >1
2时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1，且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2.
5.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1
5，
则f (log 220)＝________. （利用周期和奇函数改变范围）
押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性. 答案 －1
解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，
因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0.
又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 24
5＝－1. 6.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，
f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5 解：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为4的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)
7.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其
中a ，b ∈R .若f (12)＝f (3
2)，则a ＋3b 的值为________．
解：由题意知f (12)＝b ＋43，f (32)＝f (－12)＝－12a ＋1，从而b ＋43＝－1
2a ＋1，化简得3a ＋2b ＝－
2.又f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋2
2
，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2a ，3a ＋2b ＝－2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－4.
所以a ＋3b ＝－10.
类型三：求周期
1.x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]的最小正周期是________． （绘画此类函数图像）
解析：如图，当x ∈[0,1)时，画出函数图像，
再左右扩展知f (x )为周期函数． 答案：1
类型四：周期+奇偶性
1.若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( ) （数形结合，类似于正余弦函数图像）
A ．(1，3)
B ．(－1，1)
C ．(－1，0)∪(1，3)
D ．(－1，0)∪(0，1) 解析：选C.f (x )的图象如图．
当x ∈[－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)； 当x ∈[0，1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；
当x ∈[1，3]时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3)． 故x ∈(－1，0)∪(1，3)．
2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．
解析：因为f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)．（对称轴）
所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，
即y＝f(x)的图象关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．
因为f(x)在[0，2]上是增函数，
所以f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图象．
其图象也关于x＝－6对称，
所以x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.
类型五：综合
1.偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝2x－x2，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是__________.
答案(
15
15，
3
3)
解析因为f(1－x)＝f(1＋x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(1＋x)，即有f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数.
由y＝2x－x2，得x2－2x＋y2＝0，
即(x－1)2＋y2＝1，
画出函数f(x)和直线y＝k(x＋1)的图象.
因为直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，所以根据函数图象易知，
15
15<k<
3 3.
2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．
答案7
解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝
0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.
3.已知f(x)是R上最小正周期为4的奇函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[2,4]的解析式为________．。