第1章 反比例函数1．2017·郴州已知反比例函数y ＝kx的图象过点A (1，－2)，则k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－12．2017·镇江a ，b 是实数，点A (2，a )，B (3，b )在反比例函数y ＝－2x的图象上，则( )A ．a ＜b ＜0B ．b ＜a ＜0C ．a ＜0＜bD ．b ＜0＜a3．2017·广东如图1－Y －1，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2x(k 2≠0)相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为( )A ．(－1，－2)B ．(－2，－1)C ．(－1，－1)D ．(－2，－2)图1－Y －1图1－Y －2.2016·株洲已知一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝k x的图象如图1－Y －2所示，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是( )A ．x ＜2B ．x ＞5C ．2＜x ＜5D ．0＜x ＜2或x ＞55．2017·张家界在同一平面直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m (m ≠0)与y ＝m x(m ≠0)的图象可能是( )图1－Y －图1－Y －46．2017·海南如图1－Y －4，△ABC 的三个顶点分别为A (1，2)，B (4，2)，C (4，4)．若反比例函数y ＝k x在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是( )A ．1≤k ≤4 B．2≤k ≤8 C ．2≤k ≤16 D．8≤k ≤167．2017·青岛一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过A (－1，－4)，B (2，2)两点，P 为反比例函数y ＝kb x图象上一动点，O 为坐标原点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则△PCO 的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．不确定8．2017·威海如图1－Y －5，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为(－4，0)，点B 在y 轴上，若反比例函数y ＝k x(k ≠0)的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为( )A ．y ＝3xB ．y ＝4xC ．y ＝5xD ．y ＝6x图1－Y －5图1－Y －6.2017·怀化如图1－Y －6，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，则k 1－k 2的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．210．2017·淮安若反比例函数y ＝－6x的图象经过点A (m ，3)，则m 的值是________．11．2016·邵阳已知反比例函数y ＝k x(k ≠0)的图象如图1－Y －7，则k 的值可能是________(写一个即可)．图1－Y －7图1－Y －812．2017·永州如图1－Y －8，已知反比例函数y ＝k x(k 为常数，k ≠0)的图象经过点A ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B .若△AOB 的面积为1，则k ＝________．13．2017·眉山已知反比例函数y ＝2x，当x ＜－1时，y 的取值范围为________．14．2016·郴州如图1－Y －9，一次函数y 1＝x ＋1的图象与反比例函数y 2＝k x(x ＞0)的图象交于点M ，作MN ⊥x 轴，N 为垂足，且ON ＝1.(1)在第一象限内，当x 取何值时，y 1＞y 2？(根据图象直接写出结果) (2)求反比例函数的表达式．图1－Y －915．2017·宜宾如图1－Y －10，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x的图象交于A (－3，m ＋8)，B (n ，－6)两点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求△AOB 的面积．图1－Y －1016．2017·丽水丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t (时)，平均速度为v (千米/时)(汽车行驶速度不超过100千米/时)．根据经验，v ，t 的几组对应值如下表：(1)根据表中的数据，求出平均速度(千米/时)关于行驶时间(时)的函数表达式； (2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由； (3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t 满足3.5≤t ≤4，求平均速度v 的取值范围．17．2016·株洲如图1－Y －11，▱ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数y ＝k x(k ≠0)的图象上，点B ，D 在x 轴上，且B ，D 两点关于原点对称，AD 交y 轴于点P .(1)已知点A 的坐标是(2，3)，求k 的值及点C 的坐标； (2)若△APO 的面积为2，求点D 到直线AC 的距离．图1－Y －11详解详析1．C [解析] ∵反比例函数y ＝k x 的图象过点A (1，－2)，∴－2＝k1，解得k ＝－2.2．A [解析] ∵－2＜0，∴反比例函数y ＝－2x的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．∵点A (2，a )，B (3，b )在反比例函数y ＝－2x的图象上且都在第四象限，∴a ＜b ＜0.故选A.3．A [解析] ∵点A 与点B 关于原点对称，∴点B 的坐标为(－1，－2)．故选A. 4．D5．D [解析] A ．由反比例函数图象得m ＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以A 选项错误；B.由反比例函数图象得m ＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B 选项错误；C.由反比例函数图象得m ＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以C 选项错误；D.由反比例函数图象得m >0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以D 选项正确．故选D.6．C [解析] ∵△ABC 是直角三角形，∴当反比例函数y ＝k x经过点A 时，k 最小，经过点C 时，k 最大，∴k 最小值＝1×2＝2，k 最大值＝4×4＝16，∴2≤k ≤16.故选C.7．A [解析] 将A (－1，－4)，B (2，2)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝－4，2k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.∴反比例函数的表达式为y ＝－4x .∵P 为反比例函数y ＝kbx图象上一动点，O 为坐标原点，PC ⊥y轴，∴△PCO 的面积为12×4＝2.故选A.8．A [解析] 如图，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABO ＋∠CBE ＝90°.∵∠OAB ＋∠ABO ＝90°，∴∠OAB ＝∠CBE .∵点A 的坐标为(－4，0)，∴OA ＝4.∵AB ＝5，∴OB ＝52－42＝3.在△ABO 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OAB ＝∠CBE ，∠AOB ＝∠BEC ，AB ＝BC ，∴△ABO ≌△BCE (AAS)，∴OA ＝BE ＝4，CE ＝OB ＝3，∴OE ＝BE －OB ＝4－3＝1，∴点C 的坐标为(3，1)．∵反比例函数y ＝k x(k ≠0)的图象过点C ，∴k ＝xy ＝3×1＝3，∴反比例函数的表达式为y ＝3x.故选A.9．D [解析] 连接OA ，OC ，OD ，OB ，如图，由反比例函数的性质可知S △AOE ＝S △BOF ＝12|k 1|＝12k 1，S △COE ＝S △DOF ＝12|k 2|＝－12k 2.∵S △AOC ＝S △AOE ＋S △COE ，∴12AC ·OE ＝12·2OE ＝OE ＝12(k 1－k 2)①.∵S △BOD ＝S △DOF ＋S △BOF ，∴12BD ·OF ＝12·(EF －OE )＝12×(3－OE )＝32－12OE ＝12(k 1－k 2)②，由①②两式解得OE ＝1，则k 1－k 2＝2.故选D.10．－2 [解析] ∵反比例函数y ＝－6x 的图象经过点A (m ，3)，∴3＝－6m，解得m ＝－2.11．－1(答案不唯一)12．－2 [解析] 依据比例系数k 的几何意义可得S △AOB ＝12|k |＝1，∴|k |＝2.又由反比例函数图象在第二、四象限可得k <0，∴k ＝－2.13．－2＜y ＜0 [解析] ∵反比例函数y ＝2x中，k ＝2＞0，∴此函数图象的两个分支位于第一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小．∵当x ＝－1时，y ＝－2，∴当x ＜－1时，－2＜y ＜0.14．[全品导学号：46392034]解：(1)x ＞1.(2)∵ON ＝1，MN ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为1，把x ＝1代入y 1＝x ＋1，得y 1＝2， ∴点M 的坐标为(1，2)．把点M (1，2)的坐标代入y 2＝k x，得k ＝2， ∴反比例函数的表达式为y 2＝2x(x >0)．15．解：(1)将A (－3，m ＋8)的坐标代入反比例函数y ＝m x，得m－3＝m ＋8，解得m ＝－6， ∴m ＋8＝－6＋8＝2，∴点A 的坐标为(－3，2)，反比例函数的表达式为y ＝－6x.将点B (n ，－6)的坐标代入y ＝－6x ，得－6n＝－6，解得n ＝1，∴点B 的坐标为(1，－6)．将A (－3，2)，B (1，－6)的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝2，k ＋b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4，∴一次函数的表达式为y ＝－2x －4.故一次函数的表达式为y ＝－2x －4，反比例函数的表达式为y ＝－6x.(2)设AB 与x 轴相交于点C ，令－2x －4＝0，解得x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，0)， ∴OC ＝2，∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×2＋12×2×6＝2＋6＝8.16．解：(1)根据表中的数据，可画出v 关于t 的函数图象(如图所示)．根据图象形状，选择反比例函数模型进行尝试． 设v 与t 的函数表达式为v ＝k t，∵当v ＝75时，t ＝4.00，∴k ＝4.00×75＝300，∴v ＝300t.将点(3.75，80)，(3.53，85)，(3.33，90)，(3.16，95)的坐标分别代入v ＝300t验证：30080＝3.75，30085≈3.53，30090≈3.33，30095≈3.16， ∴v 与t 的函数表达式为v ＝300t(t ≥3)．(2)不能．理由：∵10－7.5＝2.5，当t ＝2.5时，v ＝3002.5＝120＞100，∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场． (3)∵3.5≤t ≤4，∴75≤v ≤6007， 即平均速度v 的取值范围是75≤v ≤6007.17．解：(1)∵点A (2，3)在反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象上，∴3＝k2，∴k ＝6.由题意，得点O 为▱ABCD 的中心，∴点C 与点A 关于原点O 对称，∴C (－2，－3)． (2)∵△APO 的面积为2，点A 的坐标是(2，3)，∴2＝OP ×22，则OP ＝2.设过点P (0，2)，点A (2，3)的直线的表达式为y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，2a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2，即直线PA 的表达式为y ＝12x ＋2.将y ＝0代入y ＝12x ＋2，得x ＝－4，∴OD ＝4.∵A (2，3)，C (－2，－3)，∴AC ＝（－3－3）2＋（－2－2）2＝2 13. 设点D 到直线AC 的距离为m . ∵S △ACD ＝S △ODA ＋S △ODC ， ∴213·m 2＝4×32＋4×32，解得m ＝12 1313，即点D 到直线AC 的距离是12 1313.。