高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}220A x N x x =∈--<的真子集个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若a 为实数，且231ai i i+=++，则a =（ ） A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．43．下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14,18，则输出的a 为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．144．一个四面体的三视图如下图所示，则该四面体的表面积是（ ）A ．1．1+．2 D ．5．已知命题“R x ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,3- C ．()3,-+∞ D ．()3,1-6．已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．237．设向量,a b r r 满足a b +=r r a b -=r r ，则a b ⋅=r r （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．58．设,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．-3B ．4C ．2D ．59．由曲线1xy =与直线y x =，3y =所围成的封闭图形面积为（ ）A ．2ln3-B ．ln 3C ．2D ．4ln3-10．设2log 5a =，4log 15b =，0.52c =，则,,a b c 大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>11．等差数列{}n a 满足10a >，201620170a a +>，201620170a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ）A ．2016B ．2017C ．4032D ．403312．若存在正数x ，使()21x x a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),-∞+∞B ．()2,-+∞C ．()0,+∞D ．()1,-+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项n S = ．14．直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为，则直线的倾斜角为 ．15．函数()log 41a y x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中,m n 均大于0，则12m n+的最小值为 ． 16．在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，ABC ∆的面积2S =，且满足()cos 1cos a B b A =+，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数()23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2sin sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 18．已知函数()211f x x x =+--.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()22a f x a ≤-有解，求实数a 的取值范围. 19不是有理数.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且142n n S a +=+，11a =.（1）12n n n b a a +=-，求证数列{}n b 是等比数列；（2）设2n n n a c =，求证数列{}n c 是等差数列； （3）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S .21．如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，FD EA ∥，且112FD EA ==. （1）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，并写出该直线与CF 所成角的余弦值，但不要求证明和解答过程.（2）求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.22．设函数()2ln 2a f x x x x =- （1）当()0,x ∈+∞，()02a f x x +≤恒成立，求实数a 的取值范围. （2）设()()g x f x x =-在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个极值点12,x x .（A ）求实数a 的取值范围；（B ）求证：12112ln ln ae x x +>.一、选择题1-5CDBCB 6-10AABDB 11、12：CD二、填空题13．()1n n + 14．6π或56π 15．5+．()8,8 三、解答题17．解：（1）∵()2sin 34f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin 246x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22T ππ==， 由()262x k k πππ-=+∈Z 得()23k x k ππ=+∈Z . 函数()f x 的最小正周期为π，对称轴方程为()23k x k ππ=+∈Z . （2）∵,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 因为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以，当3x π=时，()f x 取最大值1.又∵11222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x π=-时，()f x 取最小值. 18．解：（1）当1x ≥时，无解；当112x -<<时，1223x -<<； 当12x ≤-时，142x -<≤-. 综上，24,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（2）函数()f x 的最小值为32-，2322a a -≥-，所以[]1,3a ∈-.19为有理数那么存在两个互质的正整数,p q p q =，于是p =，两边平方得222p q = 由22q 是偶数，可得2p 是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以p 也是偶数.因此可设2p s =，s 是正整数，代入上式，得：2242s q =，即222q s =.所以q 也是偶数，这样,p q 都是偶数，不互质，这与假设,p q 互质矛盾.不是有理数.20．解：（1）由题意，142n n S a +=+，2142n n S a ++=+相减，得()2114n n n n S S a a +++-=- 2144n n n a a a ++=-,∴()211222n n n n a a a a +++-=-∵12n n n b a a +=-，∴()*12n n b b n +=∈N ，2q =，又由题设，得21426a +=+=，即25a =，12123b a a =-=，∴{}n b 首项为3，公比为2的等比数列，其通项公式为132n n b -=⋅ （2）11232n n n n b a a -+=-=⋅，所以，134n n c c +-= ∴数列{}n c 是首项为12，公差为34的等差数列， ∴()2312n n a n -=-.（3）()13422n n S n -=-+.21．解：（1）取线段CD 的中点，连结KQ ，直线KQ 即为所求.（2）以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，AE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图.由已知可得()0,0,0A ，()0,0,2E ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,1F ，∴()2,2,2EC =-uu u r ，()2,0,2EB =-uu r ，()0,2,1EF =-uu u r设平面ECF 的法向量为(),,n x y z =r ，得2220,20x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1y =，得平面ECF 的一个法向量为()1,1,2n =r ，设直线EB 与平面ECF 22．解：（1）∵2ln 022a a x x x x -+≤，且0x >， ∴ln 022a a x x -+≤. 令()()ln 022a a U x x x x =-+>，则()12a U x x '=-.①当0a ≤时，()0U x '>，()U x 在()1,+∞上为单调递增函数，∴1x >时，()()10U x U >=，不合题意.②当02a <<时，21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0U x '>，()U x 在21,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调递增函数， ∴21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()10U x U >=，不合题意. ③当2a >时，2,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()0U x '<，()U x 在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调递减函数. ∴2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()10U x U >=，不合题意. ④当2a =时，()0,1x ∈，()0U x '>，()U x 在()0,1上为单调递增函数.()1,x ∈+∞，()0U x '<，()U x 在()1,+∞上为单调递减函数.∴()0U x ≤，符合题意.综上，2a =.（2）()2ln 2a g x x x x x =--，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦. ()ln g x x ax '=-.令()()h x g x '=，则()1h x a x'=- 由已知()0h x =在()21,e 上有两个不等的实根.（A ）①当21ea ≤时，()0h x '≥，()h x 在()21,e 上为单调递增函数，不合题意. ②当1a ≥时，()0h x '≤，()h x 在()21,e 上为单调递减函数，不合题意. ③当211e a <<时，11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '>，21,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '<， 所以，()10h <，10h a ⎛⎫>⎪⎝⎭，()2e 0h <，解得221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （B ）由已知11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，∴()1212ln ln x x a x x -=-.不妨设12x x <，则1201x x <<，则121212112x x a x x x x ++-=-()22121212121212ln ln 122ln ln x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--=--⎢⎥--⎣⎦1212121212ln 2x x x x x x x x x x -=---. 令()12ln G x x x x=--，()01x <<.则()()2210x G x x -'=>，∴()G x 在()0,1上为单调递增函数， ∴()1210x G G x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭即121212ln 0x x x x x x --<， ∴121120a x x +->， ∴12112ax ax +>， ∴12112ln ln x x +>， 由（A ）1ea <， ∴e 1a <，2e 2a <， ∴12112e ln ln a x x +>.高考模拟数学试卷本试卷分为试题卷和答题卷两部分，解答写在答题卷相应的位置．．．．．．．．． 全卷共１５０分，考试时间为１２０分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1．设集合{}0232<++=x x x M ,集合1{|()4}2x N x =≤ , 则MUN 为 A ．}{2-≥x x B ．}{1->x x C ．}{1-<x x D ．}{2-≤x x2．在复平面内，复数13i 1i+-对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．226++ B.326++ C.223++ D.323++4．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法．若输入121,209==n m ，则输 出m 的值为A.10B.11C.12D.135.设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为A.1B.3C.4D.56.已知函数()2sin(2)f x x ϕ=-+()ϕπ<，若()28f π=-,则()f x 的一个单调递增区间可以是 3.,88A ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 59.,88B ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3.,88C ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5.,88D ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.已知半圆的直径10AB = ，O 为圆心，C 为半圆上不同于B A ,的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PC PB PA ⋅+的最小值是Ａ．225Ｂ.25- Ｃ．25 Ｄ.225- 8.已知正项{}n n a S 数列的前n 项和为，奇数项成公差为1的等差数列，当n 为偶数时点2122(,)321,2,{}2n n n n a a y x a a a n S +=+==在直线上,又知则数列的前项和等于 A ．2163n n n +--+ B ．1332n +- C ．221422332n n n +--+ D ．21332n n n +--+ 9．已知直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在球O 的球面上，且3,1===BC AC AB ,若球O 的体积为π3520,则这个直三棱柱的体积等于 23510．已知函数()sin()1(0)2f x x =--<<πϕϕ，且230(()1)0f x dx +=⎰π，则函数()f x 的一个零 点是A ． 56πB ． 3πC ． 6πD ．712π 11．椭圆E 的两个焦点分别是21,F F .若E 上的点p 满足||23||211F F PF =,则椭圆E 的离心率e 的取值范围是A.21≤eB.41≥eC.2141≤≤eD.121410<≤≤<e e 或 12．定义在实数集R 上的函数)(x f y =的图像是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t 使得)()(x f t x t f ⋅-=+恒成立，则称)(x f y =是一个“关于t 函数”．有下列“关于t 函数”的结论： ①0)(=x f 是常数函数中唯一一个“关于t 函数”；②“关于21函数”至少有一个零点； ③2)(x x f =就一个“关于t 函数”.其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．2+2x （）521()mx x -展开式中2x 项的系数490,则实数m 的值为 . 14.函数()[]12sin(),2,41f x x x x π=-∈--且1x ≠，则函数的所有零点之和为 .15.若在区间[1,2] 上存在实数x 使1)2(2<+a x x成立,则a 的取值范围是 . 16.给出下列四个命题：①ABC ∆中，A B >是sin sin A B >成立的充要条件； ②当01x x >≠且时，有1ln 2ln x x +≥；③已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >；④若函数32y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为R上的奇函数，则函数()y f x =的图象一定关于点3(,0)2F 成中心对称． 其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足：11a =，12(1)(1)n n na n a n n +=+++（*n N ∈）. （1）若1nn a b n=+，试证明数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式n a 及其n 项和S n ．18.如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，∠BAC=∠ACD=︒90，∠EAC=︒60，AB=AC=AE. （1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得DP//平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ACDE 所成的锐二面角θ的余弦值.19.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0=ξ； 当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1=ξ. （1）求概率P （0=ξ）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E （ξ）.20.已知抛物线2y =的焦点为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A ，B ，经过椭圆左焦点的直线l 与椭圆交于C 、D （异于A ，B ）两点． (1)求椭圆标准方程；(2)求四边形ADBC 的面积的最大值；(3)若1122(,)(,)M x y N x y 是椭圆上的两动点，且满121220x x y y +=，动点P 满足2OP OM ON=+u u u r u u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），是否存在两定点12,F F 使得12PF PF +为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．21．已知函数f(x)＝e x－e -x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln2的近似值(精确到0.001)．请考生从第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时 请写清题号.22.（本小题10分）选修4—1几何证明选讲如图,P 是☉O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线PBC 与☉O 相交于点B ,C ,又PC =2PA ,D 为PC 的中点,AD 的延长线交☉O 于点E .证明(1)BE =EC ；(2)AD ·DE =PB 22.23.（本小题10分）选修4-4参数方程选讲在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ay ax sin cos 3（a 为参数），以原点o 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.24.（本小题10分）选修4-5不等式选讲设函数()245f x x x =-+-的最大值为M ．（1）求实数M 的值；（2）求关于x 的不等式12x x M -++≤的解集．数学参考答案（理科）一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A BABADDDBACA二填空题13.7± 14. 8 15.(－∞，－23) 16.（1）（3）17．解：(1)121)1()1(211+=+⇒+++=++na n a n n a n na nn n n ， )1(222111+=+=+++nan a n a n n n 得，即n n b b 21=+，21=b 又,{}n b 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. ……………………4分（2）由(1)知),12(212b -=⇒=+⇒=n n n nnn n a n a …………………5分∴231(21)2(21)3(21)(21)n n S n =⨯-+⨯-+⨯-++-K231222322(123)n n n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++K K23(1)12223222n n n n +=⨯+⨯+⨯++⋅-K …………………………………7分 令231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅K ， 则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅K ，两式相减得：23112(12)22222212n nn n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-K ，22)1(2)21(211+⋅-=⋅+-=++n n n n n n T …………………………………11分∴2)1(22)1(1+-+⋅-=+n n n S n n …………………………………………12分18．（一）解：（1）线段BC 的中点就是满足条件的点P 。