第5讲 竖式问题内容概述以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。
典型问题兴趣篇1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G ”代表“5”，“A ”代表“9”，“D ”代表“0”，“H ”代表“6”.问：“I ”代表的数字是多少？分析：A+D=D ，所以,它们的和一定有进位，所以C=4，A+E=H 也一定有进位，所以E=7，现在还剩1、2、3、8没有用，所以B 、F 分别是1、2，I=3.2. （1）在图5-2的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？(2) 在图5-3的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：（1）观察可得：车=1，卒=0，兵+兵=卒，所以兵=5，马+1=5，所以马=4，炮+炮=马，所以炮=25240+5210=10450（2）观察可得：炮=1，兵—兵=马，一定有借位，所以马=9，炮—兵=马，所以：兵=2， 1221—292=9293. 在图5-4的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果23+解+数+字+谜=30，那么“ ”所代表的三位数是多少？数字谜4. 图5-5所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“ ”代表的四位数是多少？分析：观察可得：北=1，北+京+奥=0，所以可得要进位，所以；京=8，北+京+奥+运=8，所以要进2位，所以：奥=0，运=9北京奥运=18095. 已知图5-6所示的乘法竖式成立，那么ABCDE 是多少？6. (1) 在图5-7的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？(2) 在图5-8的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？分析：（1）△×△=△，所以△=1、5、9,三种可能，因为是三位数乘一位数等于四位数，所以1排除，经分析：△=5，☆=2，○=1（2）△=1、5、6三种可能，排除1，当△=5时，☆=4，○=2 当△=6时，☆=5，○=3北京奥运7. 如图5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？分析：B×B=B，所以B=1、5、6，三种可能，经分析1排除，A×B=B，所以B=5，A为奇数，三位数乘B得三位数，所以第一个方格中添1，一百多乘一位数得四位数，所以A只能是7、9，当A=7时，C=7，矛盾不成立；当A=9时，C=7，成立；所以：195×95=18525 1+9+1+7+5+1+8+5+2+5=448. 在图5-10和图5-11中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立.分析：（1）除数×9=783，所以除数=87,87×6=522，所以被除数=60036003÷87=69（2）除数×8=232，所以除数=29,29×5=145，所以被除数=2465 2465÷29=859.在图5-12所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商是多少？分析：除数×7=两位数，除数×另一个一位数=三位数，且三位数的十位上是2，所以除数只能是14,14×7=98,14×9=126，所以除数=7910. 有一个四位数，它乘以9后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数，求原来的四位数.拓展篇1. 在图5-13和5-14中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值.分析：（1）观察得：巧=1、语=5，四个语相加得20，进2，所以三个英相加得数的个位是8，所以英得6，向前进2，所以学+学得数个位也是8，所以学=41465（2）观察的奥+林有进1，所以奥=6，奥+林+匹进2，所以林=7，奥+林+匹+克进3，所以匹=8，克=9 67892. 如图5-15，在这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么数字A、B、C分别是多少？分析：观察C—A=A，C—B=B,所以C—A没有借位，C—B有借位，B—B=B，所以有借位且B=9，C=8，已知C—A=A，所以A=44、9、83.在图5-16的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，并且A<B<C<D. 问：竖式中的和是多少？分析：观察得A=2，B=3，C=4，D=52233+3344+4455=100324. 在图5-17的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么“ ”所代表的七位数是多少？ 分析：观察得，黄金三角：携=1，手=0，上=9，个位数的和肯定要进位，要使进1为，则博=7，所以会只能是2，海=4，假设百位向前进2位，办=6，当世=3时，在=8，成立，1094382 ；假设百位向前进3位，办=5，当世=8时，在=3，成立，1094872；5. 小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，结果刚好是7826. 小悦原来写的四位数是多少？分析：ABCD+ABC+AB=7826 利用位值原理1000A+100B+10C+D+100A+10B+C+10A+B=1110A+111B+11C+D=7826当A=7时7826－7770=56 则B=0 当C=5时 56-55=1 则D=1 即70516. 一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来的三位数. 求原来的三位数.携手上海世博会7. (1) 一个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少？(2) 一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个新的五位数恰好是原数的4倍，那么原来的五位数是多少/（1）（2）219788. 如图5-18，每一个英文字母代表0，1，2……9中的一个数字，不同的字母代表不同的数字，则字母A、Q、T、R、F分别代表什么数字？分析：.........Q为5或6 当Q=5时A=2 T=1符合题意，当Q=6时AQ×Q不等于TAQ........AQ×T=AQ 则T=1所以A=2，Q=5，T=1，R=7，F=39. 图5-19中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来.分析：先确定"美"是0,1,5,6中的一个，通过实验排除0,1,5，所以美=6 通过"美"确定"江"是2或4或8之一，又因为江峡美×江=□□江，则4或8排除，所以江=2由于江峡美×峡=□□□峡，则峡=810. 请把如图5-20所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？分析：.........6□□×□=6□7 则除数个位是7，商的十位数字是1.........6□7×□=□□61 则商的个位数字是3，除数的十位数字是811. 请把图5-21中的除法竖式补充完整。
分析：...........□□×□=□7 则商的百位数字是1，除数的个位数字是7，十位数字是7或6，经试验可排除7...........67×□=□□□ 则商的十位数字是0，个位数字是712. 在图5-22的字母竖式中，不同的字母代表不同的数字，请填同这个竖式. 分析：M=3，H=8，G=7，T=6，E=2，I=1，C=4，A=9，P=0超越篇1. 图5-23是一个加法竖式，其中E 、F 、I 、N 、O 、R 、S 、T 、X 、Y 表示0至9中的不同数字，且F 、S 不等于零，这个算式的结果是多少？[分析与解] 我们先看个位有Y+2N 对应Y ，从而N 为0或5，再看十位有T+2E 对应T ，从而有E 为0或5，但是个位没有进位，不然T+2E+1，T 的奇偶性不同，不可能对应T ．所以N 只能为0，于是E 为5．千位上一定有进位，所以O 加上百位的进位的和位I+10，此时I 只可能为1或0，而已经确定N 为0，所以I 只能为1，那么O 只能为9，并且百位进2．已确定E 为5，十位上进1，因此对于百位有R+2T+1＝20+X ，余下未确定的字母有F ，S ，R ，T ，X ，Y ，它们在2，3，4，6，7，8中取值，且满足F+1＝S ，R+2T+1＝20+X ．由于R 、T 必大于5，所以F ，S 为2，3，4中连续的两个数，又知X 小于5，所以X 为2或4，验证有X 为4，F ＝2，S ＝3，R ＝7，T ＝8，Y ＝6时满足题意，对应的竖式如下： 6841305805868792 ．2. 澳门的拼音和英语写法为AOMEN 及MACAO ， 我们规定这些字母表示1至9中的不同数字，那么图5-24中竖式的计算结果最大是多少？分析：A=1,C=9,E=6,M=8,N=5,O=73. 华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙的对联；三强韩赵魏，九章色股弦. “三强”不但指战国三强，还体现了钱三强的名字；“九章”既指记录勾股定理的数学著作，又体现了赵九章的名字，我们来用这副有趣的对联做下面的题目：(1)在图5-25的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“三”代表3，“九”代表9，请将竖式补充完整. (只需要找出一种解答)(2) 在图5-26的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“ ”代表345，请将竖式补充完整.分析：(1)三=3，强=2，韩=0，赵=5，魏=8，九=9，章=6，勾=1，股=7，弦=44. 在图5-27的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDEFG 所代表的七位数是多少？分析：A=3,B=5，C=6，D=2，E=1，F=7，G=95. 请把图5-28中的除法竖式补充完整.分析：45073÷137=329勾股弦6. 在图5-29所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，请问：被除数是多少？[分析与解] 由竖式中C －C ＝Y 或10+(C －1)－C ＝Y 得Y ＝0或9．若Y ＝0，则由最后一个减式得L ＝1，G ＝9，R ＝8，导致A ＝R ，矛盾．所以Y ＝9； 仍由最后一个减式得L ＝8，G ＝0，R ＝1，A ＝2，从而用1989U ÷8得除数中的I 为4．再由8914÷248S 得商的首位C ＝3，并且S ＝7，即被除数是891437．除法算式为891437÷2487＝358……1091．竖式如下：85319016989178902534213354116477341987842．7. 在图5-30的乘法竖式中，“二”代表除以3余2的数字，即2、5、8中的一个；“—”代表除以3余1的数字，即1、4、7中的一个；“零”代表除以3余0的数字，即0、3、6、9中的一个，请填出这个竖式.分析：251×29=72798. 在图5-31的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，其中W=0. 请用合适的数字替换字母，使得竖式成立.分析：52371+52371+104+485+485=105816。