p 。而由于色品的存在使得工作点有频散 Q ，在 较大时有可能使工作点靠近共 p
振线，导致束流损失。这也是不可接受的。因此需要将色品校为小值。
2.3 校正色品
引入六级铁
By x 2 y 2 Bx 2 xy
2 2 则 f x ( s ) r x y ， f y (s) 2rxy ， r
2
自然色品和校正色品
由 常 识 可 知 ， K ( s) 为 正 时 (s) 最 大 ， K ( s) 为 负 时 (s) 最 小 ， 因 而 积 分

C
( s) K ( s)ds 0 总是成立。故自然色品 总是负值。如 FODO 结构中的
N

tan

2
。
2.2 色品的效应
2.2.1 头尾不稳定性 “临界能量”以上的加速器，如电子环，高能质子环，负的色品会引起束流的头尾不稳 定性，需要将其校为正值。 “临界能量” 以下的加速器， 比如中低能的质子环， 重离子环， 负的色品会有朗道失谐， 不会有头尾不稳定性。 2.2.2 工作点偏移 由于束流从离子源出来就有能散， 再加上前级加速器的能散， 故束流本身就有一定的动 量分散


1 。 | B |
如果六级铁中有色散函数 D(x)，则对于偏离磁孔径中心的粒子感受到的四级场分量 k 为
k
代入式，由此引起色品为
1 By B '' p 2rx Dx x | B | p
1 4
x
总的色品为

C
x ( s)2r ( s) D( s)ds
x
3.3 基于动量分散测量色品 .................................................. 10 3.3.1 加高频 ............................................................ 10 3.3.2 注入束流与已有束流的动量差 ........................................ 11 3.4 自然色品测量 .......................................................... 12 3.5 基于纵向运动的方法 .................................................... 3.5.1 基于头尾粒子相移的方法 ............................................ 3.5.2 基于退相干的方法 .................................................. 3.5.3 基于同步振荡边带的方法 ............................................ 3.5.4 工作点频散依赖于色品的方法 ........................................ 13 13 16 17 19
2.1 自然色品 ............................................................... 1 2.2 色品的效应 ............................................................. 3 2.2.1 头尾不稳定性 ....................................................... 3 2.2.2 工作点偏移 ......................................................... 3 2.3 校正色品 ............................................................... 3
n N
ˆ (k ) x(n)e x
n 0
N 1
i 2 k
k 0,..., N 1
测量得到工作点的小数部分 q frac
k0 还可以作其他的傅式变换，如 DTFT，FFT 等。 N 。
这里利用了 BPM 信号与距离成正比的原理，信号相减。具体形式，利用快速 kick 磁铁，或 加恒定的白噪声。例子：上海光源，兰州重离子加速器。
3.色品的测量 ...................................................... 3
3.1 工作点测量的理论 ....................................................... 4 3.1.1 朗道失谐 ........................................................... 4 3.1.2 工作点的测量模型 ................................................... 5 3.2 工作点具体的测量方法 ................................................... 3.2.1 kick-type 方法 ..................................................... 3.2.2 扫频法 ............................................................. 3.2.3 BBQ 方法 ........................................................... 3.2.4 锁相环法 PLL........................................................ 5 5 6 7 8
p Q ，工作点变化 Q 。利用色品定义 。 p P P
二、利用与色品有关的集体效应，如头尾相移，径向振荡的边带，工作点的展宽，退相 干效应，等等。 这些方法都需要先测量工作点。工作点的整数部分利用单圈注入在 BPM 上的信号确定， 小数部分的精确测量则需要对振荡频率的测量。测量工作点时需要注意“朗道阻尼” （更适 合的名称是“朗道失谐” ） 。
n
朗道失谐的存在，使束流的信号在多圈后衰减得很小 x(n) x0 e 这对于测量来讲是不利的。色品测量具体的方法归为三类：
cos(w0 n) ，
1、激励——BPM 测量。如扫频法，白噪声法。分辨率 Q 10 10 。受限于孔径，
4
3
4
自然色品和校正色品
2
By x
,则
x x '' 2
By ( s ) x
By
x p0 p
x 1
2
作近似，保留 x 的一阶项， p 的一阶项，得到
1 1 By 1 p x '' 2 x B x p
同理
y ''
如果加上其他扰动项，会有
4.总结 ........................................................... 20 5.参考文献 ....................................................... 21
自然色品和校正色品
1.色品的重要性
w0 2 s 2 2w0 s w0 2
E ( s)
。
3.2 工作点具体的测量方法
3.2.1 kick-type 方法 激励 E(s)为 L{ f (n) (n)} 1 ，s 换为 i ，得到
| G ( w) |:|
做离散傅式变换 DFT，得
w0 X ( s) | E (s) ( w2 w0 2 )2 (2ww0 ) 2
发射度有限制，必须有激励。 2、利用残余信号，被动测量。如肖特基，BBQ。分辨率 Q 103 104 。不需要激励， 不对束流进行操作。 3、动态测量，锁相环技术。 Q 106 。主要用在工作点快速变化的情形。
3.1.2 工作点的测量模型 谐振方程 x 2w0 x w0 2 x w0 2e(n) ，这里微分是对圈数 n。 作 Laplace 变换， s2 x(s) 2w0 sx(s) w0 2 x(s) w0 2 E(s) ， 解为 X ( s )
由于色品可以被精确测量， 所以可以成为更高阶的束流集体效应的诊断方式。 如束流光 学，机器阻抗带来的效应，束束相互作用，电子云，等等。
2.色品的定义
2.1 自然色品
Hill 方程
B x x x '' 2 y 1 （讲义 2.40 式） B
又 p B p0 p , By By (0, 0) x
自然色品与校正色品
自然色品与校正色品
贾欢，侯尧，吕慧慧，潘薇，王志刚
1.色品的重要性 .................................................... 1 2.色品的定义 ...................................................... 1
1 By y0 B x
1 1 By x '' 2 B x
y ''
本征解为
1 p f x ( s, t ) x p
1 By y 0 f y ( s, t ) B x
z(s) z z (s) cos z (s) z
1 4

C
x ( s) K x ( s) 2r ( s) D( s) ds
这样我们就需要知道各点的的 x (s) ， K x (s) ， D ( s ) ，才能设计相应的六级铁去校正 色品。还需要直接测量色品，并且越精确越好。