2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷）文科数学1.设集合1-|x x A，2|xx B ，则BA( )A.),1(B.)2,(C.)2,1(D.2.设(2)z i i ，则z( )A. 12iB. 12iC. 12iD.12i3.已知向量(2,3)ra，(3,2)rb，则r ra b（）A. 2B. 2C.52D. 504.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A.23B.35C.25D.155.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6. 设()f x 为奇函数，且当0x时，()1xf x e，则当0x时，()f x （）A. 1xe B. 1xe C. 1xe D .1xe7. 设,为两个平面，则//的充要条件是( )A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.,平行于同一条直线D.,垂直于同一平面8.若123,44x x 是函数()sin (0)f x x 两个相邻的极值点，则=A ．2B.32C. 1D.129.若抛物线)0(22p px y的焦点是椭圆1322pyp x 的一个焦点，则p（）A.2B.3C.4D.8 10. 曲线2sin cos y x x 在点(,1)处的切线方程为( )A.10x y B.2210x y C.2210x y D.1xy11.已知(0,)2，2sin 2cos21，则sin（）A.15B.55C.33D.25512.设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab的右焦点，0为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x ya 交于,P Q 两点，若PQOF,则C 的离心率为:A.2B.3C.2D.5二、填空题13.若变量,x y 满足约束条件236302x y x y y 则3zxy 的最大值是.14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin cos 0b A a B，则B.16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)三、解答题17.如图，长方体1111ABCDA B C D 的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥.（1）证明：BE 平面11EB C （2）若1AEAE ,3AB,求四棱锥11EBB C C 的体积.18.已知n a 是各项均为正数的等比数列，162,2231a a a .(1)求n a 的通项公式：(2)设n na b 2log ，求数列n b 的前n 项和.19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组0.20,00,0.200.20,0.400.40,0.600.60,0.80企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：748.602.20. 已知12,F F 是椭圆C ：22221(0,0)x y a bab的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点. （1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ，且12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.21. 已知函数()(1)ln 1f x x x x .证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.四、选做题（2选1）22.在极坐标系中，O 为极点，点0(,)M 0(0)在曲线:=4sinC 上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当3时，求及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.23.[选修4-5：不等式选讲]已知()|||2|()f x x a x x x a （1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集：（2）若(,1)x 时，()0f x ，求a 得取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷）文科数学答案1. 答案：C 解析：1-|xx A ，2|xx B，∴）（2,1B A .2.答案：D 解析：因为(2)12zi i i ，所以12z i .3.答案：A 解答：由题意知(1,1)r ra b，所以2r ra b.4.答案：B 解答：计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A 、B 则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,)A (1,2,)B (1,3,)A (1,3,)B (1,,)A B 2,3,2,3,2,,3,,A BA B A B,则恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为35.5.答案：A 解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.6. 答案：D 解答：当0x时，0x ，()1xf x e，又()f x 为奇函数，有()()1xf x f x e.7. 答案：B解析:根据面面平行的判定定理易得答案.8.答案：A 解答：由题意可知32442T即T=,所以=2.9.答案：D 解析：抛物线)0(22p px y的焦点是)0,2(p ，椭圆1322pyp x的焦点是)0,2(p ，∴p p 22，∴8p.10. 答案：C 解析：因为2cos sin y x x ，所以曲线2sin cos y x x 在点(,1)处的切线斜率为2，故曲线2sin cos yx x 在点(,1)处的切线方程为2210xy.11.答案：B 解答：(0,)2，22sin 2cos214sin cos 2cos，则12sin cos tan2，所以2125cos1tan5，所以25sin 1cos5.12. 答案：A解析：设F 点坐标为)0,2c （，则以OF 为直径的圆的方程为2222)2c yc x（-----①，圆的方程222a yx-----②，则①-②，化简得到cax2，代入②式，求得cab y，则设P 点坐标为),2c ab c a （，Q 点坐标为),2cabc a （，故c ab PQ2，又OF PQ ,则,2c cab 化简得到2222b acab，b a ，故2222aa ab aac e.故选A. 二、填空题13.答案：9解答：根据不等式组约束条件可知目标函数3z xy 在3,0处取得最大值为9.14.答案：0.98解答：平均正点率的估计值0.97100.98200.99100.9840.15.答案：34解析：根据正弦定理可得sin sin sin cos 0B A A B,即sin sin cos 0A B B ，显然sin 0A ，所以sin cos 0B B，故34B.16.答案：26 21解析：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解.三、解答题17.答案：（1）看解析（2）看解析解答：（1）证明：因为11B C C 面11A B BA ，BE 面11A B BA∴11B C BE ⊥又1111C EB C C ，∴BE平面11EB C ；（2）设12AA a 则229BEa ，22118+a C E，22194C Ba 因为22211=C B BEC E∴3a ，∴11111h3EBB C CBB C C V S 1363=18318.答案：（1）122n n a ；（2）2n解答：(1)已知162,2231a a a ，故162121qa q a ，求得4q 或2q ，又0q ，故4q，则12111242n n n nqa a .(2)把n a 代入n b ，求得12n b n ，故数列n b 的前n 项和为22)]12(1[n nn .19. 答案：详见解析解答:（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721100100，这类企业中产值负增长的企业比例是2100.（2）这类企业产值增长率的平均数是0.1020.10240.30530.50140.7071000.30这类企业产值增长率的方差是222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296所以这类企业产值增长率的标准差是220.0296748.6020.172040.17100100.20. 答案：详见解析解答: （1）若2POF 为等边三角形，则P 的坐标为3,22c c ，代入方程22221xy ab，可得22223144c c ab，解得2423e，所以31e .（2）由题意可得122PF PF a u u uu ru u u u r ，因为12PF PF ，所以222124PF PF c u uu ru u u u r ，所以22121224PF PF PF PF c u u u r uu u u r u uu r u u u u r ，所以222122444PF PF a cb u uu ru uu u r ，所以2122PF PF b uu u r uu u u r ，所以122121162PF F SPF PF bu u u r u u u u r ，解得4b .因为212124PF PF PF PF u u u r u uu u r u uu r u uu u r，即21224aPF PF u uu r u uu u r ，即212aPF PF u u u r uu u u r，所以232a，所以42a .21. 答案：见解析解答：（1）1()ln (0)f x xx x，设1()ln g x xx，211()g x xx则()g x 在(0,)上递增，(1)10g ，11(2)ln 2ln 022g e，所以存在唯一0(1,2)x ，使得00()()0f x g x ，当00x x 时，0()()0g x g x ，当0x x 时，0()()0g x g x ，所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x 上递增，所以()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知存在唯一0(1,2)x ，使得0()0f x ，即01ln x x ，000000011()(1)ln 1(1)1()0f x x x x x x x x x ，22221113()(1)(2)110f e e e e，2222()2(1)130f e e ee，所以函数()f x 在0(0,)x 上，0(,)x 上分别有一个零点. 设12()()0f x f x ，(1)20f ，则121x x x ，有1111111(1)ln 10ln 1x x x x x x ，2222221(1)ln 10ln 1x x x x x x ，设1()ln 1x h x xx ，当0,1x x 时，恒有1()()0h x h x，则12()()0h x h x 时，有121x x .22.答案：（1）23，l 的极坐标方程：sin()26；（2）P 点轨迹的极坐标方程为=4cos(,)42.解析：（1）当03时，=4sin4sin233，以O 为原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有(3,3)M ，(4,0)A ，3OM k ，则直线l 的斜率33k，由点斜式可得直线l ：3(4)3y x ，化成极坐标方程为sin()26；（2）∵lOM ∴2OPA，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为22(2)4x y，化成极坐标方程为=4cos ，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos可得4，∴P 点轨迹的极坐标方程为=4cos(,)42.23.答案（1）看解析（2）看解析解答：（1）当1a 时，22242(2),()12(1)22(12),242(1).xx x f x x x x x x xxxx所以不等式()0f x 等价于224202x x x或22012x x或224201x x x 解得不等式的解集为2x x 。