崇雅中学文科数学试题一 选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图， 若图中“爱”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ） A 我 B 们 C 必 D 赢 2、2(sin cos )1y x x =+-是 ( )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数3、若函数)(),(x g x f 的定义域都是R ，则)()(x g x f >，x ∈R 的充要条件是（ ） A. 有一个x ∈R,使)()(x g x f > B. 有无数多个x ∈R,使)()(x g x f > C. 对任意的x ∈R,使1)()(+>x g x f D. 不存在x ∈R 使)()(x g x f ≤4、若复数22i z x yi i -==++，x ，y R ∈，则yx = ( ) A. 43- B. 34 C. 34- D. 435、已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a ，直线b kx y 2+=与椭圆交于不同的两点A 、B ，设AOB S k f ∆=)(，则函数)(k f 为（ ）A 奇函数B 偶函数C 既不是奇函数又不是偶函数D 无法判断6、在等差数列中，若是a 2+4a 7+a 12=96，则2a 3+a 15等于A. 96B. 48C. 24D. 127、在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是A ．13 B ．12 C ．23 D ．348、某公司租地建仓库，每月士地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站我 们 爱拼必 赢9、水平地面上A 、B 两地立有高分别20米和40米的旗杆，地面上P 对两旗杆顶端的仰角相等，则P 点的轨迹是（ ）A 椭圆B 抛物线C 圆D 双曲线 10、.已知函数1()lg ()2x f x x =-有两个零点21,x x ，则有A. 021<x xB. 121=x xC. 1021<<x xD. 121>x x二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

（一）必做题（11～13题）11、.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：则根据以下参考公式可得随机变量2K 的值为 、（保留三位小数）有 ％． 的把握认为喜爱打篮球与性别有关．(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++12、在△ABC 中，把正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === 代入余弦定理A bc c b a cos 2222-+=得公式：A CBC B A cos sin sin 2sin sin sin 222⋅⋅-+=。

利用上述关系式计算：___________35sin 10sin 235sin 10sin 22=⋅++；13、按如图所示的程序框图运算． (1) 若输入8x =，则输出k = ；(2) 若输出2k =，则输入x 的取值范围是 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、已知直线L 的极坐标方程为：22)4sin(=+πθρ， 则极点到直线L 的距离为 _____________;15、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 的切线PC 与AB 延长线交于P ，若PC=5，则⊙O 的半径为______。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤16、（12分）在第29届奥林匹克运动会上，杜 丽、郭文珺、陈 颖、庞 伟夺得射击金牌，何文娜、陆春龙夺得蹦床金牌，为我国金牌总数第一立下了汗马功劳，崇雅中学高中部某班要从这6名运动员中选出2名青春偶像。

（1）求出两名运动员都是射击运动员的概率；（2）求选出的两名运动员一名是射击运动员，另一名是蹦床运动员的概率。

17、（12分）已知三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C )sin ,(cos αα（1）1,,4-=⋅∈≠Z k k 若πα，求：αααtan 12cos 2sin 1+-+的值； （2),0(13πα∈=+，且OC OA ，求OC OB 与的夹角。

18、（14分）如图，一简单组合体的一个面ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径， 四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ADE ； （2）若2AB =，1BC =，3tan EAB ∠=，试求该简单组合体的体积V ． ABP19、（14分）等比数列{}的前n 项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r 的值； （2）当b=2时，记 求数列的前项和20、（14分）在实数集R 上定义运算：x ○×y =x (a －y )(a ∈R ，a 为常数)。

若f (x )=e x ，g (x )=e -x +2x 2， F(x )=f (x )○×g (x )。

（Ⅰ）求F(x )的解析式；（Ⅱ）若F(x )在R 上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a =－3，在F(x )的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.21、(14分) 设椭圆:C 1222=+y ax (0>a )的两个焦点是)0,(1c F -和)0,(2c F (0>c )，且椭圆C 与圆222c y x =+有公共点． (1)求a 的取值范围；(2)设a 取最小值，直线:l m kx y +=(0≠k )与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，线段MN 的垂直平分线恒过点)1,0(-A ，求实数m 的取值范围 n a n S n N +∈(,)n n S (0x y b r b =+>1,,b b r ≠1()4n nn b n N a ++=∈{}n b n n T参考答案：一 选择题题号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 答案 D D D A B B C A C C二 填空题11、8.333、99.5 12、2113、 3；2002.19≤<x 14、 22 15、335 三 解答题16、 ①52 ② 158 17、 ① 95- ② 6π18、解：（１）证明：∵ DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴DC BC ⊥． ----------------2分∵AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥且DC AC C =∴BC ⊥平面ADC ． ---------------------------------------------------------------4分 ∵四边形DCBE 为平行四边形 ∴DE//BC∴DE ⊥平面ADC ------------------------------------------------------------------6分 又∵DE ⊂平面ADE ∴平面ACD ⊥平面ADE -------------------------7分（2）解法１：所求简单组合体的体积：E ABC E ADC V V V --=+-----9分∵2AB =，1BC =， 3tan EB EAB AB ∠== ∴3BE =223AC AB BC =-=分∴111362E ADC ADC V S DE AC DC DE -∆=⋅=⋅⋅=-------12分 111362E ABC ABC V S EB AC BC EB -∆=⋅=⋅⋅=---------13分∴该简单几何体的体积1V =-------------------------------14分解法２：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱---8分如图∵2AB =，1BC =， 3tan 2EB EAB AB ∠== ∴3BE =223AC AB BC =-=分∴ACB FDE E ADF V V V --=-=13ACB ADC S DC S DE ∆∆⋅-⋅-----------------------------12分 1126AC CB DC AC DC DE =⋅⋅-⋅⋅=1111126=-----------------------------------------------14分19、解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,,当时,, 又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则 相减,得所以20、（14分）解：（I ）由题意，F(x )=f (x ) ○×(a －g (x ))……………………………………2分 =e x (a －e －x －2x 2)=a e x －1－2x 2e x .………………………………4分（II ）∵F ′(x )=a e x －2x 2e x －4x e x =－e x (2x 2+4x －a )，………………6分 当x ∈R 时，F(x )在减函数，∴F ′(x )≤0对于x ∈R 恒成立，即－e x (2x 2+4x －a )≤0恒成立，…………………………………8分 ∵e x >0，∴2x 2+4x －a ≥0恒成立， ∴△=16－8(－a ) ≤0，∴a ≤－2.……………………………………………………10分（III ）当a =－3时，F(x )= －3e x －1－2x 2e x ，设P(x ，y )，Q （x ，y ）是F(x )曲线上的任意两点，n N +∈(,)n n S (0xy b r b =+>1,,b b r ≠nn S b r =+1n =11a S b r ==+2n ≥1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-n a 1r =-b 1(1)n n a b b -=-11(1)2n n n a b b --=-=111114422n n n n n n n b a -++++===⨯234123412222n n n T ++=++++3451212341222222n n n n n T +++=+++++23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--113113322222n n n n n n T ++++=--=-∵F ′(x )= －e x (2x 2+4x +3)=－e x [2(x +1)2+1]<0，……………………………………12分 ∴ F ′(x 1)·F ′(x 2)>0，∴F ′(x 1)·F ′(x 2)= －1 不成立.………………………………13分∴F(x )的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.…………14分21、（14分）：(1)椭圆C 与圆222c y x =+有公共点的的充要条件是点)1,0(±在圆222c y x =+上或内且1>a ，即⎩⎨⎧>-=≤±+11)1(02222a a c ，也即2≥a 故a 的取值范围是),2[+∞…………5分另解：由已知，1>a ，∴ 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2222221c y x y a x 有实数解，从而0111222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-c x a ，故12≥c ，所以22≥a ，即a 的取值范围是),2[+∞…………5分(2)a 的最小值是2，此时椭圆C 的方程为1222=+y x ， 由⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y 得0)1(24)12(222=-+++m mkx x k (*) ∵ 直线l 与椭圆交于不同两点， ∴ 228(21)0k m ∆=-+>，即1222+<k m ．①… 设),(11y x M 、),(22y x N ，则1x 、2x 是方程(*)的两个实数解，∴ 124221+-=+k mk x x ，∴ 线段MN 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-12,12222k m k mkQ ， 又∵ 线段MN 的垂直平分线恒过点)1,0(-A ，∴ MN AQ ⊥，即kmk k m 12122-=++-，即1222+=k m ② … 由①，②得m m 22<，20<<m ，又由②得21>m ，∴ 实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21．…………14分。