等差数列的前n项和1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点)2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)[基础·初探]教材整理等差数列的前n项和1．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n＝n a1＋a n2S n＝na1＋n n－12d2.等差数列前n项和公式的函数特点S n＝na1＋n n－12d＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n.d≠0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．()(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()(3)若数列{a n}的前n项和为S n＝an2＋bn，则{a n}是等差数列．()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式．(2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式．(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√[小组合作型]与S n 有关的基本量的计算(1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4；(3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10.【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋5×5－12d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝245， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485. (3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －1d ＝－512， ①n ＋12n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4， 所以d ＝－171.(4)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋4d＝19，5a 1＋5×42d ＝40，解得a 1＝2，d ＝3，所以a 10＝a 1＋9d ＝2＋9×3＝29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用．[再练一题] 1．等差数列中：(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝13，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .【解】 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 且a 1＝105，d ＝7， 得994＝105＋(n －1)×7，解得n ＝128， ∴S n ＝n a 1＋a n2＝128×105＋9942＝70 336. (2)∵a n ＝8n ＋2，∴a 1＝10，又d ＝5， ∴S 20＝20a 1＋20×20－12×5＝20×10＋10×19×5＝1 150. (3)将d ＝13，n ＝37，S n ＝629代入a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋a n2，得⎩⎨⎧a n ＝a 1＋12，37·a 1＋a n2＝629，解得⎩⎨⎧a 1＝11，a n ＝23.等差数列前n 项和公式在实际中的应用为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少【精彩点拨】 将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解．【尝试解答】 根据题意，从2011年～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列{a n }，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×10－12×50＝7 250(万元)， 即从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列{a n }的通项还是求前n 项和； (3)列出等式(或方程)求解． [再练一题]2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V 型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支．最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔图1-2-2【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为数列{a n}，其中a1＝1，a120＝120.根据等差数列前n项和公式得S120＝120×1＋1202＝7 260.即V型架上共放着7 260支铅笔．[探究共研型]等差数列前n项和的性质探究1设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项和，那么S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列吗如果是，它们的公差是多少【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md ＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d，同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d，所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.探究2设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么a nb n与S2n－1T2n－1有怎样的关系请证明之．【提示】a nb n＝S2n－1T2n－1.【证明】a nb n＝2a n2b n＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝2n－1a1＋a2n－122n－1b1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1.(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b5的值．【精彩点拨】 (1)利用S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列求解．(2)利用前n 项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解．【尝试解答】 (1)在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列，∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. (2)a 5b 5＝2a 52b 5＝9a 1＋a 99b 1＋b 9＝S 9T 9＝6512.巧妙应用等差数列前n 项和的性质 (1)“片段和”性质．若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列．(2)项数(下标)的“等和”性质． S n ＝n a 1＋a n 2＝n a m ＋a n －m ＋12.(3)项的个数的“奇偶”性质． {a n }为等差数列，公差为d .①若共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)； S 偶－S 奇＝nd ；S 偶S 奇＝a n ＋1a n.②若共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；S 偶－S 奇＝－a n ＋1；S 偶S 奇＝nn ＋1.(4)等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． (5)等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0. [再练一题]3．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n ＞1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．【解】 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57.等差数列前n 项和的最值 探究1 将等差数列前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d 变形为S n 关于n 的函数后，该函数是怎样的函数为什么【提示】 由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0.探究2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值最小值 【提示】 由二次函数的性质可以得出，当d ＞0时，S n 有最小值；当d ＜0时，有最大值，且n 取值最接近对称轴的正整数时，S n 取得最值．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式．(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．【精彩点拨】 (1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．【尝试解答】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×42×d ＝－15，得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.等差数列前n 项和的最值问题的三种解法：(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值．(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值．(3)利用二次函数的图象的对称性． [再练一题]4．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值. 【解】 利用前n 项和公式和二次函数性质，由S 17＝S 9得 25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， ∴由二次函数性质，当n ＝13时，S n 有最大值169.1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2 【解析】 S 8＝8a 1＋a 82＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3，所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6. 【答案】 A2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7【解析】 由题意得⎩⎨⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.【答案】 B3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，前三项和为15，则前6项和为( ) A ．57 B ．－40 C ．－57 D ．40 【解析】 由题意知a 1＋a 2＋a 3＝15，∴3a 2＝15，a 2＝5， ∴d ＝a 2－a 1＝3，∴a n ＝3n －1， ∴S 6＝62＋172＝57. 【答案】 A4．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，d ＝2，则S 20＝________. 【解析】 S 20＝20·a 1＋20×192×d ＝20×2＋20×192×2＝420.【答案】 4205．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项公式a n ； (2)若S n ＝242，求n .【解】 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50， 得方程组⎩⎨⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由S n ＝na 1＋n n －12d ，S n ＝242，得12n ＋n n －12×2＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)，所以n ＝11.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝() A．5B．7 C．9 D．11【解析】法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝5a1＋a52＝5a3＝5，故选A.法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋5×42d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.【答案】A2．已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()C．10 D．12【解析】∵公差为1，∴S8＝8a1＋8×8－12×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝1 2，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.故选B.【答案】B3．在等差数列{a n}中，若S9＝18，S n＝240，a n－4＝30，则n的值为() A．14 B．15 C．16 D．17【解析】S9＝9a1＋a92＝9a5＝18，所以a5＝2，S n＝n a1＋a n2＝n a5＋a n－42＝240，∴n(2＋30)＝480，∴n＝15.【答案】B4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()【解析】由题意S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列．∵S3S6＝13.不妨设S3＝1，S6＝3，则S6－S3＝2，所以S9－S6＝3，故S9＝6，∴S12－S9＝4，故S12＝10，∴S6S12＝310.【答案】A5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取得最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9【解析】设公差为d，由a4＋a6＝2a5＝－6，得a5＝－3＝a1＋4d，解得d＝2，∴S n＝－11n＋n n－12×2＝n2－12n，∴当n＝6时，S n取得最小值．【答案】A二、填空题6．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.【解析】∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋6×6－12d＝6.【答案】67．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.【解析】 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d .所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5a 1＋a 52＝5a 3＝10，所以a 3＝2.所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20. 【答案】 208．等差数列{a n }的前9项的和等于前4项的和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.【解析】 设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1得9×1＋9×82×d ＝4×1＋4×32×d ，所以d ＝－16，又a k ＋a 4＝0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋k －1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，即k ＝10.【答案】 10 三、解答题9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．【解】 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则 S n ＝na 1＋n n －12d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10， ②①×10－②，整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100，所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150 ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110.10．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值 【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－2n . (2)a 1＝9，d ＝－2， S n ＝9n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋10n＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．[能力提升]1．在项数为2n ＋1项的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】 ∵等差数列有2n ＋1项， ∴S 奇＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12，S 偶＝n a 2＋a 2n2.又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝165150， ∴n ＝10. 【答案】 B2．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7n ＋1＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，∴n＝1,2,3,5,11.【答案】 D3．在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于________． 【解析】 因为S n ＝na 1＋n n －12d ，所以35＝na 1＋n n －12×2＝na 1＋n (n －1)①，又a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝a 1＋2(n －1)，∴a 1＋2(n －1)＝11②，由①②可得a 21－2a 1－3＝0， 解得a 1＝3或－1. 【答案】 3或－14．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n 的关系为a n ，求a n ； (2)求4月份的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天【解】 (1)从4月1日起每天销售量依次组成数列{a n }，(n ∈{1,2，…，30}) 依题意，数列a 1，a 2，…，a 12是首项为10，公差为15的等差数列， ∴a n ＝15n －5(1≤n ≤12)．a 13，a 14，a 15，…，a 30是首项为a 13＝a 12－10＝165，公差为－10的等差数列， ∴a n ＝165＋(n －13)(－10)＝－10n ＋295(13≤n ≤30)，∴a n ＝⎩⎨⎧15n －5 1≤n ≤12，n ∈N ＋，－10n ＋295 13≤n ≤30，n ∈N ＋.(2)4月份的总销售量为 1210＋1752＋18×165＋18×17×－102＝2 550(件)， (3)4月1日至4月12日销售总数为 12a 1＋a 122＝1210＋1752＝1 110＜1 200， ∴4月12日前还没有流行．由－10n ＋295＜100得n ＞392， ∴第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过10天．等差数列的前n 项和1．理解并掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系．(重点)2．熟练掌握等差数列的五个基本量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)[基础·初探]教材整理 等差数列的前n 项和 1．等差数列的前n 项和公式已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式S n ＝n a 1＋a n 2S n ＝na 1＋n n －12d2.等差数列前n 项和公式的函数特点 S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且无常数项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n 项和公式．( ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和S n .( ) (3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ，则{a n }是等差数列．( ) 【解析】 (1)任何等差数列都能应用等差数列的前n 项和公式． (2)数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式．(3)当公差不为0时，等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数(常数项为0)．[小组合作型]与S n 有关的基本量的计算(1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4；(3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10.【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋5×5－12d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝245， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485.(3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －1d ＝－512， ①n ＋12n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4， 所以d ＝－171.(4)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋4d＝19，5a 1＋5×42d ＝40，解得a 1＝2，d ＝3，所以a 10＝a 1＋9d ＝2＋9×3＝29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用．[再练一题] 1．等差数列中：(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝13，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .等差数列前n 项和公式在实际中的应用为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少【精彩点拨】 将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解．【尝试解答】 根据题意，从2011年～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列{a n }，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×10－12×50＝7 250(万元)， 即从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列{a n }的通项还是求前n 项和；(3)列出等式(或方程)求解．[再练一题]2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支．最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔图1-2-2[探究共研型]等差数列前n项和的性质探究1n n S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列吗如果是，它们的公差是多少【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md ＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d，同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d，所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.探究2设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么a nb n与S2n－1T2n－1有怎样的关系请证明之．【提示】a nb n＝S2n－1T2n－1.【证明】a nb n＝2a n2b n＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝2n－1a1＋a2n－122n－1b1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1.(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知S nT n＝7n＋2n＋3，求a5b5的值．【精彩点拨】(1)利用S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列求解．(2)利用前n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解．【尝试解答】(1)在等差数列中，S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列，∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)a5b5＝2a52b5＝9a1＋a99b1＋b9＝S9T9＝6512.巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质．若{a n}为等差数列，前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列．(2)项数(下标)的“等和”性质．S n＝n a1＋a n2＝n a m＋a n－m＋12.(3)项的个数的“奇偶”性质．{a n}为等差数列，公差为d.①若共有2n项，则S2n＝n(a n＋a n＋1)；S偶－S奇＝nd；S偶S奇＝a n＋1a n.②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)a n＋1；S偶－S奇＝－a n＋1；S偶S奇＝nn＋1.(4)等差数列{a n}中，若S n＝m，S m＝n(m≠n)，则S m＋n＝－(m＋n)．(5)等差数列{a n}中，若S n＝S m(m≠n)，则S m＋n＝0.[再练一题]3．已知两个等差数列{a n}与{b n}的前n(n＞1)项和分别是S n和T n，且S n∶T n＝(2n＋1)∶(3n－2)，求a9b9的值．等差数列前n项和的最值探究1将等差数列前n项和S n＝na1＋n n－12d变形为S n关于n的函数后，该函数是怎样的函数为什么【提示】由于S n＝na1＋n n－12d＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n，所以当d≠0时，S n为关于n的二次函数，且常数项为0.探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的S n何时有最大值最小值【提示】由二次函数的性质可以得出，当d＞0时，S n有最小值；当d＜0时，有最大值，且n取值最接近对称轴的正整数时，S n取得最值．在等差数列{a n}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{a n}的通项公式．(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．【精彩点拨】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．【尝试解答】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×42×d ＝－15， 得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.等差数列前n 项和的最值问题的三种解法：(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值．(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值．(3)利用二次函数的图象的对称性． [再练一题]4．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值.1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．22．记等差数列前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于() A．2 B．3 C．6 D．73．在等差数列{a n}中，a1＝2，前三项和为15，则前6项和为()A．57 B．－40 C．－57 D．404．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝________.5．等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求通项公式a n；(2)若S n＝242，求n.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7 C．9 D．112．已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()C．10 D．123．在等差数列{a n}中，若S9＝18，S n＝240，a n－4＝30，则n的值为()A．14 B．15 C．16 D．174．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取得最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题6．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.7．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1＝1，a k＋a4＝0，则k ＝________.三、解答题9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．10．已知等差数列{a n}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值[能力提升]1．在项数为2n ＋1项的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．122．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．53．在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于________． 4．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n 的关系为a n ，求a n ； (2)求4月份的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天。