中考数学中的探究性问题动态几何Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】中考数学中的《探究性问题——动态几何》动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查学生的综合分析和解决问题的能力。
有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了。
本人只是用2005 年的部分中考数学试题加以说明。
一、知识网络《动态几何》涉及的几种情况动点问题?动线问题动形问题??二、例题经典1.【05 重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B开始在线段BA 上以每秒2 个单位长度的速度向点A 移动,设点P、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；y(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似24A(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为个平方单位5P Q【解】（１）设直线AB 的解析式为y＝k x＋b 由题意，得b＝68k＋b＝03解得k＝－b＝643所以，直线AB 的解析式为y＝－x＋6．4（２）由AO＝6，BO＝8 得AB＝10所以AP＝t ，AQ＝10－2t1°当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB．t 10 2t 30所以＝解得t＝(秒)6 10 112°当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB．t 10 2t 50所以＝解得t＝10 6 13(秒) （３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E．BO 4在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝＝AB5 OyyAP QOAQyBBBxxxPOAx P QEO在Rt△AEQ 中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·1 1所以，S AP·QE＝t·(8－△APQ＝224 24＝－ 2t＋4t＝5 5解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．85t)45＝8－85t2.【05 青岛】如图，在矩形ABCD 中，AB＝6 米，BC＝8 米，动点P 以2 米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1 米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P、Q 两点移动t 秒（0<t<5）后，四边形ABQP 的面积为S 米2。
（1）求面积S 与时间t 的关系式；（2）在P、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等若能，求出此时点P 的位置；若不能，请说明理由。
【解】（1）过点P 作PE⊥BC于ERtABC中，AC =AB2 +BC2 =62 +82 =10（米）由题意知：AP =2t，CQ =t，则PC =10 2t由AB⊥BC，PE⊥ΒC得PE / /AB ∴PE =PCAB AC即：PE t ，PE t t=10 2 3 10 2 6∴=( ) =+6?6 10 5 5=1 ××=又QSABC6 8 24224 1 6 3ABC PCQ6∴S=S S=t(t+) =t3t+2422 5 5即：S =3 t t +2 3 245（2）假设四边形ABQP与CPQ的面积相等，则有： 35 t 3t +24 =12 2即：t2 5t +20 =0 Q b2 4ac =(5)2 4 ×1×20 <0∴方程无实根∴在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与CPQ的面积不能相等。
3.【05乌鲁木齐】四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC。
在建立如图的平面直角坐标系中，A （4，0），B（3，2），点M 从O 点以每秒2 单位的速度向终点A 运动；同时点N 从B 点出发以每秒1 个单位的速度向终点C 运动，过点N 作NP 垂直于x 轴于P 点连结A C 交NP 于Q，连结MQ。
（1）写出C点的坐标；（2）若动点N 运动t 秒，求Q 点的坐标（用含t 的式子表示（3）其△AMQ 的面积S 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。
（4）当t 取何值时，△AMQ 的面积最大；（5）当t 为何值时，△AMQ 为等腰三角形。
【解】（1）C（1，2）（2）过C 作CE⊥x 轴于E，则CE＝2当动点N 运动t 秒时，NB＝t ∴点Q 的横坐标为3—t|y 1Q+t设Q 点的纵坐标为y Q 由PQ∥CE 得 3=∴2 yQ=2 2t+32 2+t∴点Q（3 ,t）3（3）点M 以每秒2 个单位运动，∴OM＝2t，AM＝4—2t1 12 2t 2 2 2+S (4 2 ) ＝(2 t)(t1) ＝( 2) AM PQ=t+t t＝ 3△AMQ2 23 3当t＝2 时，M 运动到A 点，△AMQ 不存在∴t ≠ 2∴t 的取值范围是0≤t＜22 2 2 1 2 3（4）由S (t t2) =(t) +。
＝ 2△AMQ3 3 21 3当t=时，S=2 2mzx（5）、①若QM＝QA∵QP⊥OA∴MP＝AP 而MP＝4—（1＋t＋2t）＝3—3t1 1即1＋t＝3—3t t＝∴当t＝时，△QMA 为等腰三角形。
2 22 2 13+t②若AQ＝AM AQ2＝AP2＋PQ2＝ 2 2 (1 )2(1 t) +( ) =+t+3 913 13AQ= (1+) AM＝4—2t (1 )t t+＝4—2t3 3t=85 ?1823 13 85而＜?182313 ＜2∴当t＝85182313时，△QMA 为等腰三角形。
2 t+2 85 154③若MQ＝MA MQ2＝MP2＋PQ2＝ 3 ( )(3 t)2 2 = 2 ++t t3 9 9 85 2 154 85 49 2 10 59∴t+t t=t＝(4 2t)2 09 9 9 9 9 959 59解得t＝或t＝—1（舍去）∵0＜＜249 4959∴当t＝时，△QMA 为等腰三角形。
49 85 9综上所述：当t＝12、t＝85182313或t＝5949△QMA 都为等腰三角形。
4.【05宜昌】如图1，已知△ABC的高AE=5，BC= 40，∠ABC＝45°，F是AE上的3点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形并对你得到的结论予以证明；（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．A A（图2 供思考用）H G IFB E KJ B E CC图1 图2【解】(1)∵点G 与点E 关于点F 对称，∴GF=FE∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI=JE同理可得HG=EK ，∴HI=JK, ∴四边形HIKJ 是平行四边形（2）当F 是AE 的中点时，A、G 重合，所以AF= 如图1，∵AE 过平行四边形HIJK 的中心F,∴∴HG=EK, GI=JE. HG/BE=GI/EC. HA BG IF∵CE＞BE,∴GI＞HG, ∴CK＞BJ.B J E KC ∴当点F 在AE 上运动时, 点K、J 随之在BC 上运动, 图1如图2，当点F 的位置使得B、J 重合时，这时点K 仍为CE 上的某一点（不与C、EAH G IF重合），而且点H、I 也分别在AB、AC 上设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，40 —5.∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5—2x ,CE＝3∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE. 图240∴(5—2x)∶5＝5∶( —5)35 ＜AF≤4.∴x＝1，∴AF＝5—x＝4 ∴25.【05漳州】如图1，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，顶点D，C 分别在AM，BN上运动(点D 不与A 重合，点C 不与B 重合)，E 是AB 上的动点(点E 不与A，B 重合)，在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a。
（1）求证：△ADE∽△BEC；（2）当点E 为AB 边的中点时(如图2)，求证：①AD+BC=CD；②DE，CE 分别平分∠ADC，∠BCD；（3）设AE=m，请探究：△BEC 的周长是否与m 值有关，若有关请用含m 的代数式表示△BEC 的周长；若无关请说明理由。
【解】（1）太简单，略。
（2）过点E 作梯形两底的平行线交腰CD 于F，则F 是CD 的中点，则EF 既是梯形ABCD 的中位线，又是Rt△DEC 斜边上的中线。
根据各自的性质：AD+BC＝2EF，CD＝2EF所以AD+BC＝CD.由△EFD 是等腰三角形（FD＝FE＝1 CD）得∠FDE＝∠FED2由EF∥AD 可得∠ADE＝∠FED ∴∠FDE＝∠ADE，即DE 平分∠ADC；同理可证：CE 平分∠BCD。
（3）设AD＝x，由已知AD+DE＝AB=a 得DE＝a－x，又AE＝m在Rt△AED 中，由勾股定理得：x2＋m2＝（a－x）2化简整理得：a2－m2＝2ax ①在△EBC 中，由AE＝m，AB＝a，得BE＝a－m因为△ADE∽△BEC，所以AD AE DE＝＝，即：x m a x＝＝，－BE BC EC a m BC EC－解得：BC a m m EC a m a x .（－）（－）（－）＝，＝x x所以△BEC 的周长＝BE＋BC＋EC＝ a m a m m a m a x（－）＋＋（－）（－）（－）x x＝（a－m）1＋m＋a x ＝ a m a m（－）＝－＋x x x a2m2－a2m2x②把①式代入②，得△BEC 的周长＝BE＋BC＋EC＝2ax 2a＝，x所以△BEC 的周长与m 无关。
6.【05河北】如图12，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。
动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2 两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1 个单位长的速度向点AP D B 运动，点P，Q 分别从点D，C 同时出发，当点Q 运动到点B时，点P 随之停止运动。
设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ 的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，以B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰B QC 三角形图10 （3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O，且2AO＝OB 时，求∠BQP 的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
【解】（1）如图3，过点P 作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM 为矩形。