三、解答题 1．（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形, 叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与 x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形.（1）求函数y ＝43-x ＋3的坐标三角形的三条边长； （2）若函数y ＝43-x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.【答案】解：(1) ∵ 直线y ＝43-x ＋3与x 轴的交点坐标为（4,0），与y 轴交点坐标为（0,3）， ∴函数y ＝43-x ＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.(2) 直线y ＝43-x ＋b 与x 轴的交点坐标为（b 34,0），与y 轴交点坐标为（0,b ），当b >0时,163534=++b b b ，得b =4，此时,坐标三角形面积为332；当b <0时，163534=---b b b ，得b =－4，此时,坐标三角形面积为332.综上,当函数y ＝43-x ＋b 的坐标三角形周长为16时,面积为332．2．（2010江西）已知直线经过点（1，2）和点（3，0），求这条直线的解读式.【答案】解：设这直线的解读式是(0)y kx b k =+≠，将这两点的坐标（１，２）和（３，０）代入，得2,30,k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1,3,k b =-⎧⎨=⎩所以，这条直线的解读式为3y x =-+．3．（2010北京）如图，直线y =2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .⑴ 求A ，B 两点的坐标；⑵ 过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP =2OA ， 求ΔABP 的面积.Ay OB x第21题图【答案】解(1)令y=0，得x=32-∴A点坐标为(32-，0).令x=0，得y=3∴B点坐标为(0，3).(2)设P点坐标为(x，0)，依题意，得x=±3. ∴P点坐标为P1(3，0)或P2(－3，0).∴S△ABP1=13(3)322⨯+⨯=274S△ABP2=13(3)322⨯-⨯=94.∴△ABP的面积为274或94.4．（2010湖北随州）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（M/秒）与时间t（秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）.（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；（3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；（4）由（2）（3），直接猜出在t时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系.图a图b【答案】（1）1(010)25(10130)135(130135) v t tv tv t t⎧=≤<⎪⎪=≤<⎨⎪=-≤≤⎪⎩（2）2.5×10+5×120+2×5＝635（M ）（3）221(010)4525(10130)1(130135)2S t t S t t S t t ⎧=≤<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪=-≤≤⎩ +135t-8475 (4) 相等的关系5．（2010陕西西安）某蒜薹（t ái ）生产基地喜获丰收，收获蒜薹200吨，经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方式，并且按这三种方式销售，计划每吨平均的售价及成本如下表：销售方式 批发 零售 储藏后销售 售价（元/吨） 3 000 4 500 5 500 成本（元/吨）7001 0001 200若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出获得的总利润为y （元），蒜薹零售x （吨），且零售量是批发量的.31（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）由于受条件限制，经冷库储藏售出的蒜薹最多80吨，求该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润。

【答案】解：（1）由题意，得批发蒜薹3x 吨，储藏后销售)4200(x -吨，则)12005500()4200()10004500()7003000(3-⋅-+-⋅+-⋅=x x x y.8600006800+-=x（2）由题意，得.30,.804200≥≤-x x 得解之..06800,8600006800的值增大而减小的值随x y x y ∴<-+-=∴当.656000860000306800,30=+⨯-==最大值时y x∴该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润为656 000元。

6．（2010陕西西安）问题探究 （1）请你在图①中作一条．．直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； （2）如图②，点M 是矩形ABCD 内一定点，请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分。

问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中CD//OB ，OB=6，BC=4，CD=4。

开发区综合服务经管委员会（其占地面积不计）设在点P （4，2）处，为了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分，你认为直线l 是否存在？若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）如图①，作直线DB ，直线DB 即为所求。

（所求直线不唯一，只要过矩形对称中心的直线均可）（2）如图②，连接AC 、DB 交于点P ，则点P 为矩形ABCD 的对称中心，作直线MP ，直线MP 即为所求 （3）如图③，存在符合条件的直线l ，过点D 作DA ⊥OB 于点A ，则点P （4，2）为矩形ABCD 的对称中心 ∴过点P 的直线只要平分DOA ∆的面积即可。

易知，在OD 边上必存在点H ，使得直线PH 将DOA ∆面积平分， 从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积。

即直线PH 为所求直线.l设直线PH 的表达式为,b kx y +=且点)2,4(P.42,42k b b k -=+=∴即∵直线OD 的表达式为.2x y =⎩⎨⎧=-+=∴.2,42x y k kx y 解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=.284,242k k y k k x ∴点H 的坐标为).284,242(kk k k ---- ∴PH 与线段AD 的交点F 的坐标为),22,2(k -.11.4220<<-∴<-<∴k k∴.422121)2422()224(21⨯⨯⨯=---⋅+-=∆k k k S DHF 解之，得)2313.(2313舍去不合题意，k k --=-=.1328-=∴b∴直线l 的表达式为.13282313-+-=x y 7．（2010江西省南昌）已知直线经过点（1,2）和点（3,0），求这条直线的解读式. 【答案】解：设这条直线的解读式为b kx y +=，把两点的坐标（1，2），（3，0）代入，得⎩⎨⎧=+=+.03,2b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.3,1b k所以，这条直线的解读式为3+-=x y .8．（2010湖北襄樊）为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A 、B 两种型号的收割机共30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的进价和售价见下表：A 型收割机B 型收割机进价（万元/台） 5.3 3.6 售价（万元/台）64设公司计划购进A 型收割机x 台，收割机全部销售后公司获得的利润为y 万元． （1）试写出y 与x 的函数关系式；（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？ （3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W 为多少万元？【答案】解：（1）y =(6－5.3)x +(4－3.6)(30－x )=0.3x +12． （2）依题意，有 5.3(30) 3.6130,0.31215.x x x +-⨯⎧⎨+⎩≤≥即1612,1710.x x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≥ ∴10≤x ≤121617．∵x 为整数，∴x =10，11，12．即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择：方案1：购A 型收割机10台，购B 型收割机20台； 方案2：购A 型收割机11台，购B 型收割机19台； 方案3：购A 型收割机12台，购B 型收割机18台． （3）∵0.3＞0，∴一次函数y 随x 的增大而增大． 即当x =12时，y 有最大值，y 最大=0.3×12+12=15.6（万元）． 此时，W=6×13%×12+4×13%×18=18.72（万元）． 9．（2010 江苏镇江）运算求解在直角坐标系xOy 中，直线l 过（1，3）和（3，1）两点，且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点.（1）求直线l 的函数关系式； （2）求△AOB 的面积.【答案】（1）设直线l 的函数关系式为)0(≠+=k b kx y ， ① （1分）把（3，1），（1，3）代入①得⎩⎨⎧=+=+,3,13b k b k （2分）解方程组得⎩⎨⎧=-=.4,1b k （3分）∴直线l 的函数关系式为.4+-=x y ② （4分）（2）在②中，令)0,4(,4,0),4,0(,4,0A x y B y x ∴==∴==得令得 （5分）.8442121=⨯⨯=⋅=∴∆BO AO S AOB （6分）10．（2010 贵州贵阳）如图7，直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点. （1）将直线AB 绕原点O 沿逆时针方向旋转90°得到直线11B A . 请在《答题卡》所给的图中画出直线11B A ，此时直线AB 与11B A 的 位置关系为（填“平行”或“垂直”）（6分）（2）设（1）中的直线AB 的函数表达式为111b x k y +=，直线11B A 的函数表达式为222b x k y +=，则k 1·k 2=.（4分）【答案】（1）如图所示，………………………………3分垂直………………………………………6分（2）－1………………………………………10分11．（2010宁夏回族自治区）如图，已知：一次函数：4y x =-+的图像与反比例函数：2y x=(0)x >的图像分别交于A 、B 两点，点M 是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过M 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为M 1、M 2，设矩形MM 1OM 2的面积为S 1；点N 为反比例函数图像上任意一点，过N 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为N 1、N 2，设矩形NN 1ON 2的面积为S 2；（1）若设点M 的坐标为(x ，y )，请写出S 1关于x 的函数表达式，并求x 取何值时，S 1的最大值；（2）观察图形，通过确定x 的取值，试比较S 1、S 2的大小． 【答案】(1)x x x x S 4)4(21+-=+-= ------------------2分=4)2(2+--x当2=x 时，41=最大值S -------------------------4分 （2）∵2S 2=由21S S =可得：24x 2=+-x0242=--x x（图7）A 1B1∴22±=x ----------------------------------5分通过观察图像可得： 当22±=x 时，21S S =当22220+>-<<x x 或时，21S S < 当2222+<<-x 时，21S S > -----------------------------------------8分12．（2010 湖北咸宁）在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的．．距离．．分别为1y 、2y （km ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示． （1）填空：A 、C 两港口间的距离为km ，=a ；（2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．【答案】解：（1）120，2a =；……2分（2）由点（3，90）求得，230y x =．当x ＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）求得，16030y x =-．……3分 当12y y =时，603030x x -=，解得，1x =．此时1230y y ==．所以点P 的坐标为（1，30）．……5分该点坐标的意义为：两船出发1 h 后，甲船追上乙船，此时两船离B 港的距离为30 km ．…6分 求点P 的坐标的另一种方法：由图可得，甲的速度为30600.5=（km/h ），乙的速度为90303=（km/h ）． 则甲追上乙所用的时间为3016030=-（h ）．此时乙船行驶的路程为30130⨯=（km ）． 所以点P 的坐标为（1，30）．（3）①当x ≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，16030y x =-+．依题意，(6030)30x x -++≤10． 解得，x ≥23．不合题意．……7分②当0.5＜x ≤1时，依题意，30(6030)x x --≤10．解得，x ≥23．所以23≤x ≤1．……8分③当x ＞1时，依题意，(6030)30x x --≤10．O y/km 9030 a0.53P（第23题）甲 乙x/h解得，x ≤43．所以1＜x ≤43．……9分综上所述，当23≤x ≤43时，甲、乙两船可以相互望见．……10分13．（2010青海西宁）如图12，直线y=kx-1与x 轴、y 轴分别交与B 、C 两点，tan∠OCB=21. （1） 求B 点的坐标和k 的值；（2） 若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A 运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式；（3） 探索：①当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是41； ②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由.图12【答案】解：（1）∵y= kx-1与y 轴相交于点C ，∴OC=1∵tan ∠OCB=OC OB =21∴OB=21∴B 点坐标为：⎪⎭⎫ ⎝⎛021，把B 点坐标为：⎪⎭⎫ ⎝⎛021，代入y= kx-1得 k=2 （2）∵S = y 21⨯⨯OB ∵y=kx-1 ∴S =()1-x 22121⨯ ∴S =4121-x（3）①当S =41时，4121-x =41∴x=1，y=2x-1=1∴A 点坐标为（1，1）时，△AOB 的面积为41 ②存在.满足条件的所有P 点坐标为： P 1(1,0), P 2(2,0), P 3(2,0), P 4(2-,0). ……………………………12分14．（2010新疆乌鲁木齐）如图6，在平面直角坐标系中，直线434:+-=x y l 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后 得到△A ′OB ′（1）求直线A ′B ′的解读式；（2）若直线A ′B ′与直线l 相交于点，求△ABC 的面积。