高一第二学期三角函数与数列综合试卷(含答案)高一数学2016.4.1一、填空题(本大题共14题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷...相应位置上). 1. 已知3cos()25πα+=,且3(,)22ππα∈,则tan α的值为_____________ . 2. 已知点(tan ,cos )M 在第二象限,则角的终边在第_____________象限.3. =-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-απαπα222sin 6sin 6sin _____________ . 4. 已知1tan()42πθ-=,则sin cos θθ=_____________ . 5. 设在各项为正数的等比数列{}n a 中,若6542a a a =+,则公比q =_____________ .6. 已知a n =nn n 10)1(9+(n ∈N *),则数列{a n }的最大项是第_____________项. 7. 函数cos y x =的图象向左平移3π个单位,横坐标缩小到原来的12,纵坐标扩大到原来的3倍,所得的函数图象解析式为_____________ .8. 已知数列{}n a 的前n 项和131n n S +=-,则n a =_____________ .9. 若}{n a 是等差数列,首项01>a ,020152014>+a a ,020152014<⋅a a ,则使前n 项和0<n S 成立的最小正整数n 是_____________ .10. 在ABC ∆中,C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ,若222b c a +=,且ba=C ∠=_____________ . 11. 某同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前2011个圈中的●的个数是_____________ .12. 已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-.则cos β的值为_____________ . 13.在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,c a =且满足0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C ,若点O 是ABC ∆外一点,42==OB OA ,则四边形OACB 的面积的最大值为 _____________ .14. 我们知道,如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ,总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立,则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数(简称上凸). 类比上述定义,对于数列{}n a ,如果对任意正整数n ,总有不等式:212n n n a a a +++≤成立,则称数列{}n a 为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列{}n a 满足如下两个条件: (1)数列{}n a 为上凸数列,且1101,28a a ==;(2)对正整数n (*,101N n n ∈<≤),都有20n n a b -≤,其中2610n b n n =-+.则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为_____________ .二、解答题(本大题共6题,共90分,请在答题卷...指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题14分)如图,在四边形ABCD 中,AD =8,CD =6,AB =13,∠ADC =90°,且50AB AC ⋅=. (1)求sin∠BAD 的值;(2)设△ABD 的面积为S △ABD ,△BCD 的面积为S △BCD ,求ABD BCDS S ∆∆的值.16. (本小题14分)ACDB已知向量(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==- (1)若//a b ,试求sin α; (2)若a b ⊥,且(0,)2πα∈,求cos(2)4πα-的值.17. (本小题14分) 已知函数()221sin cos 42f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,x R ∈ (1)求函数()f x 最值与最小正周期; (2)求使不等式()32f x ≥[]()0,x π∈成立的x 的取值范围.18. (本小题16分)已知数列{n a }的首项111,21n n a a a +==+. (1)求证:{}1n a +是等比数列; (2)求数列{}n na 的前n 项和n S .19. (本小题16分)已知数列}{n a 满足11=a ,21=-+n n a a ,等比数列}{n b 满足11a b =,144+=a b . (Ⅰ)求数列}{n a 、}{n b 的通项公式;(Ⅱ)设n n n b a c =,求数列}{n c 的前n 项和n S .20. (本小题16分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且5133349a a S +==,. (1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式; (2)设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+,问: 是否存在正整数t ,使得12m b b b ,, (3)m m ≥∈N ,成等差数列?若存在,求出t 和m 的值;若不存在,请说明理由.一、填空题1. 34 2. 四 3. 21 4.310 5. 2 6. 8或9 7. 3cos(2)3y x π=+. 8. 81223n nn a n =⎧=⎨≥⋅⎩ 9. 4029 10. 0010515或 11. 61 12. ∵π,(0,)2αβ∈,从而ππ22αβ-<-<.又∵1tan()03αβ-=-<,∴π02αβ-<-<∴10sin()10αβ-=-(2)由(1)可得,310cos()10αβ-=. ∵α为锐角,3sin 5α=,∴4cos 5α=∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-4310310()510510⨯+⨯-91013. 【命题立意】三角恒等变换,余弦定理,考查分析能力,转化能力,较难题. 【解析】因为0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C , 所以0cos sin 3cos cos )cos(=-++-B A B A B A , 所以3tan =B ,因为π<<B 0,所以3π=B ,因为c a =,所以ABC ∆为等边三角形,设θ=∠AOB ,所以23||21sin ||||212⨯+⋅=+=∆∆AB OB OA S S S ABC AOB OACB θ )cos ||||2|||(|43sin 242122θθOB OA OB OA ⋅-++⨯⨯⨯= )cos 24224(43sin 422θθ⨯⨯-++= )cos 45(3sin 4θθ-+=35)3sin(8++=πθ,因为πθ<<0,所以3433ππθπ<+<,所以1)34sin(23≤+<-πθ, 所以四边形OACB 的面积的最大值为358+.14. []13,25二、解答题15. 解(1)在Rt △ADC 中,AD =8,CD =6,则AC =10,43cos ,sin 55CAD CAD ∠=∠=.又∵50AB AC ⋅=,AB =13,∴5cos 13||||AB AC BAC AB AC ⋅∠==.∵0180BAC <∠<,∴12sin 13BAC ∠=. ∴63sin sin()65BAD BAC CAD ∠=∠+∠=. (2)1252sin 25BAD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=,1sin 602BAC S AB AC BAC ∆=⋅⋅∠=,24ACD S ∆=, 则1685BCD ABC ACD BAD S S S S ∆∆∆∆=+-=,∴32ABD BCD S S ∆∆=.16. 已知向量(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==- (Ⅰ)若//a b ,试求sin α (Ⅱ)若a b ⊥,且(0,)2πα∈,求cos(2)4πα-的值解:(1)由//得,0tan 16cos 15=+αα,35sin =α(舍)或53sin -=α (2)由b a ⊥得,0tan cos 2012=⋅-αα,53sin =α,又)2,0(πα∈,54cos =α2572cos ,25242sin ==αα, 25031)42cos(=-πα17. (1)()1cos 21cos 212222x x f x π⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=++=113sin 2cos 2222x x ++=3222x x ⎫++⎪⎪⎝⎭=3242x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ∴ ()max 32f x +=, ()min 32f x -=, T π= (2)由()32f x ≥得:2024x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,∴sin 204x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,∴2224k x k ππππ≤+≤+,()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈又[]0,x π∈,∴x 的取值范围为370,,88πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦18. 【命题立意】本题重点考查了等比数列的定义、等比数列的求和公式、错位相减求和等知识,属于中档题.【解析】(1)∵121+=+n n a a , ∴)1(211+=++n n a a , 则2111=+++n n a a 为常数,∴{}1n a +是等比数列(2)∵11=a ,可得n n a 21=+,∴12-=n n a , 则n -n na n n 2⋅=,2231231112112222212222222222(12)212(1)22(1)22122n n n n n n n n n n n n T n T n T n n n n n S n +++++=⨯+⨯++⋅=⨯+⨯++⋅=-----+⋅-=-+⋅-=-++∴=--+---------------设,则分19.【答案】(Ⅰ)21n a n =-,12n n b -=;(Ⅱ))23(23n S n n --=.【命题立意】考查等差数列、等比数列的通项公式,错位相减求和,考查转化能力,计算能力,中等题.【解析】(Ⅰ)21n a n =-,141,8b b ==,∴2q =,∴12n n b -=.(Ⅱ) 1(21)2n n c n -=-,21113252(21)2n n S n -=⋅+⋅+⋅++-2312123252(23)2(21)2n nn S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-上述两式作差得231122222222(21)2n nn S n --=+⋅+⋅+⋅++⋅--12(12)12(21)212n n n S n -⎛⎫--=+-- ⎪-⎝⎭32(32)nn S n =--.20. 解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩,,即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩,,解得112.a d =⎧⎨=⎩,故221n n a n S n =-=,. (2)由(1)知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ,,成等差数列,必须212m b b b =+,即312123121m t t m t-⨯=+++-+,整理得431m t =+-, 因为m ,t 为正整数,所以1t -只能取1,2,4,t =2,3或5. 当2t =时,7m =;当3t =时,5m =; 当5t =时,4m =.故存在正整数t ,使得12m b b b ,,成等差数列.(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)。