高一第二学期三角函数与数列综合试卷（含答案）高一数学2016．4．1一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷．．．相应位置上）. 1. 已知3cos()25πα+=，且3(,)22ππα∈，则tan α的值为_____________ . 2. 已知点(tan ,cos )M 在第二象限，则角的终边在第_____________象限.3. =-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-απαπα222sin 6sin 6sin _____________ . 4. 已知1tan()42πθ-=，则sin cos θθ=_____________ . 5. 设在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q =_____________ .6. 已知a n =nn n 10)1(9+（n ∈N *），则数列{a n }的最大项是第_____________项. 7. 函数cos y x =的图象向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为_____________ .8. 已知数列{}n a 的前n 项和131n n S +=-，则n a =_____________ .9. 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020152014>+a a ，020152014<⋅a a ，则使前n 项和0<n S 成立的最小正整数n 是_____________ .10. 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若222b c a +=，且ba=C ∠=_____________ . 11. 某同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2011个圈中的●的个数是_____________ .12. 已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-.则cos β的值为_____________ . 13.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，c a =且满足0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C ，若点O 是ABC ∆外一点，42==OB OA ，则四边形OACB 的面积的最大值为 _____________ .14. 我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为_____________ .二、解答题（本大题共6题，共90分，请在答题卷．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题14分)如图，在四边形ABCD 中，AD =8，CD =6，AB =13，∠ADC =90°，且50AB AC ⋅=． （1）求sin∠BAD 的值；（2）设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求ABD BCDS S ∆∆的值．16. (本小题14分)ACDB已知向量(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==- （1）若//a b ，试求sin α； （2）若a b ⊥，且(0,)2πα∈，求cos(2)4πα-的值.17. (本小题14分) 已知函数()221sin cos 42f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，x R ∈ (1)求函数()f x 最值与最小正周期； (2)求使不等式()32f x ≥[]()0,x π∈成立的x 的取值范围.18. (本小题16分)已知数列{n a }的首项111,21n n a a a +==+． (1)求证:{}1n a +是等比数列； (2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．19. (本小题16分)已知数列}{n a 满足11=a ，21=-+n n a a ，等比数列}{n b 满足11a b =，144+=a b ． （Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n S ．20. (本小题16分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.一、填空题1. 34 2. 四 3. 21 4.310 5. 2 6. 8或9 7. 3cos(2)3y x π=+. 8. 81223n nn a n =⎧=⎨≥⋅⎩ 9. 4029 10. 0010515或 11. 61 12. ∵π,(0,)2αβ∈,从而ππ22αβ-<-<.又∵1tan()03αβ-=-<,∴π02αβ-<-<∴10sin()10αβ-=-(2)由(1)可得,310cos()10αβ-=. ∵α为锐角,3sin 5α=,∴4cos 5α=∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-4310310()510510⨯+⨯-91013. 【命题立意】三角恒等变换，余弦定理，考查分析能力，转化能力，较难题． 【解析】因为0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C ， 所以0cos sin 3cos cos )cos(=-++-B A B A B A ， 所以3tan =B ，因为π<<B 0，所以3π=B ，因为c a =，所以ABC ∆为等边三角形，设θ=∠AOB ，所以23||21sin ||||212⨯+⋅=+=∆∆AB OB OA S S S ABC AOB OACB θ )cos ||||2|||(|43sin 242122θθOB OA OB OA ⋅-++⨯⨯⨯= )cos 24224(43sin 422θθ⨯⨯-++= )cos 45(3sin 4θθ-+=35)3sin(8++=πθ，因为πθ<<0，所以3433ππθπ<+<，所以1)34sin(23≤+<-πθ， 所以四边形OACB 的面积的最大值为358+．14. []13,25二、解答题15. 解（1）在Rt △ADC 中，AD =8，CD =6，则AC =10，43cos ,sin 55CAD CAD ∠=∠=．又∵50AB AC ⋅=，AB =13，∴5cos 13||||AB AC BAC AB AC ⋅∠==．∵0180BAC <∠<，∴12sin 13BAC ∠=． ∴63sin sin()65BAD BAC CAD ∠=∠+∠=． （2）1252sin 25BAD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=，1sin 602BAC S AB AC BAC ∆=⋅⋅∠=，24ACD S ∆=， 则1685BCD ABC ACD BAD S S S S ∆∆∆∆=+-=，∴32ABD BCD S S ∆∆=．16. 已知向量(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==- （Ⅰ）若//a b ，试求sin α （Ⅱ）若a b ⊥，且(0,)2πα∈，求cos(2)4πα-的值解：（1）由//得，0tan 16cos 15=+αα，35sin =α（舍）或53sin -=α （2）由b a ⊥得，0tan cos 2012=⋅-αα，53sin =α，又)2,0(πα∈，54cos =α2572cos ,25242sin ==αα， 25031)42cos(=-πα17. （1）()1cos 21cos 212222x x f x π⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=++=113sin 2cos 2222x x ++=3222x x ⎫++⎪⎪⎝⎭=3242x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ∴ ()max 32f x +=， ()min 32f x -=， T π= （2）由()32f x ≥得：2024x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∴sin 204x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∴2224k x k ππππ≤+≤+，()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈又[]0,x π∈，∴x 的取值范围为370,,88πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦18. 【命题立意】本题重点考查了等比数列的定义、等比数列的求和公式、错位相减求和等知识，属于中档题．【解析】（1）∵121+=+n n a a ， ∴)1(211+=++n n a a ， 则2111=+++n n a a 为常数，∴{}1n a +是等比数列（2）∵11=a ,可得n n a 21=+，∴12-=n n a ， 则n -n na n n 2⋅=，2231231112112222212222222222(12)212(1)22(1)22122n n n n n n n n n n n n T n T n T n n n n n S n +++++=⨯+⨯++⋅=⨯+⨯++⋅=-----+⋅-=-+⋅-=-++∴=--+---------------设，则分19.【答案】（Ⅰ）21n a n =-，12n n b -=；（Ⅱ）)23(23n S n n --=．【命题立意】考查等差数列、等比数列的通项公式，错位相减求和，考查转化能力，计算能力，中等题．【解析】（Ⅰ）21n a n =-，141,8b b ==,∴2q =,∴12n n b -=．（Ⅱ） 1(21)2n n c n -=-，21113252(21)2n n S n -=⋅+⋅+⋅++-2312123252(23)2(21)2n nn S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-上述两式作差得231122222222(21)2n nn S n --=+⋅+⋅+⋅++⋅--12(12)12(21)212n n n S n -⎛⎫--=+-- ⎪-⎝⎭32(32)nn S n =--.20. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，，即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，故221n n a n S n =-=，. （2）由（1）知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t-⨯=+++-+，整理得431m t =+-， 因为m ，t 为正整数，所以1t -只能取1,2,4，t =2，3或5. 当2t =时，7m =；当3t =时，5m =； 当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。