三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a ，则实数y 的值为 A ．5B ．6C ．7D ．82．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50B ．70C ．80D ．903．2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为 A ．1338+ B ．1338C ．1338± D ．124-7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为 A ．12π B ．2119π+C ．2119π-D ．2113π-8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个不同的实根x3，x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为A ．12B．12-C．32D．—329．设函数f（x）=e x（sinx—cosx），若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极大值之和为A．1006(1)1e eeπππ--B．20122(1)1e eeπππ--C．10062(1)1e eeπππ--D．2012(1)1e eeπππ--10．设函数11()(),21xf x x Ax=++为坐标原点，A为函数()y f x=图象上横坐标为*()n n N∈的点，向量11,(1,0),nn k k n nka A A i a iθ-===∑向量设为向量与向量的夹角，满足15tan3nkkθ=<∑的最大整数n是A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设1(sin cos)sin2,()3f fααα+=则的值为．12．已知曲线1*()()nf x x n N+=∈与直线1x=交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为201212012220122011,log log lognx x x x+++则的值为____．13．已知22sin sin,cos cos,33x y x y-=--=且x，y为锐角，则tan（x -y）= ．14．如图放置的正方形ABCD，AB =1．A，D分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB⋅的最大值是____．15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r），则（1）使得P（3，r）>36的最小r的取值是；（2）试推导P（n，r）关于，n、r的解析式是____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知2(2sin ,),(1,23sin cos 1)OA a x a OB x x ==-+，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间； （Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2ππ]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，17．（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）． （I ）求△CDE 的面积； （Ⅱ）求A ，B 之间的距离．18．（本小题满分12分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；（II ）设2()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足9(2)(1).10n n b n a =+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若1*1m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）设曲线C ：()ln ( 2.71828),()()f x x ex e f x f x '=-=表示导函数．（I ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）数列{a n }满足111,2(3)n na e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1<x 2，求证：存在唯一的012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x '参考答案一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．【参考答案】 C 【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．2． 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质． 【参考答案】 B ．【解题思路】3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力． 【参考答案】D【解题思路】2(sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。

4．【考点分析】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查观察分析和运算能力． 【参考答案】B 【解题思路】第一行是以2为首项，以 1为公差的等差数列，第一列是以2为首项，并且每一列都是以21由为公比的等比数列，由等差数列和等比数列的通项公式可求得83,85,1===z y x ，所以它们的和等于2，故选B 。

5．【考点分析】本题考查了等差数列和等比数列的判定，以及平行向量和垂直向量的基本结论．【参考答案】A【解题思路】：由//n c b 选A ． 6．【考点分析】本题考查等差中项和等比中项的定义以及三角变换，考查方程思想和运算能力．【参考答案】A【解题思路】依题意有θθcos sin 2sin 2+=x ，①2sin sin cos x θθ=②由①2-②×2得，022cos 2cos 42=--x x ，解得cos 2x =又由θθcos sin sin 2=x ，得02sin 12cos ≥-=θx ，所以8331-不合题意。

故选A 。

7．【考点分析】本题主要考查正弦函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质以及数量积的坐标表示，数形结合思想．【参考答案】C【解题思路】由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π， ∴ω＝2，∴y ＝sin （2x ＋φ），将点⎝⎛⎭⎫－π12，0的坐标代入得sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0， ∴φ＝π6， ∴A ⎝⎛⎭⎫π6，1，B ⎝⎛⎭⎫2π3，－1，∴OA →·OB →＝π29－1，故选 C ．8．【考点分析】本题主要考查函数的零点和等差数列的定义，考查数形结合思想．【参考答案】D【解题思路】设两个根依次为)(,βαβα<．而函数)(x f y =的零点为23,2ππ,则由图象可得:2322,232πππβαπβαπ+==+<<<．∴可求2365cos ,65-==∴=ππαm ．9．【考点分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和． 【参考答案】 B ．【解题思路】∵函数f （x ）=e x （sinx-cosx ），∴f ′（x ）=（e x ）′（sinx-cosx ）+e x（sinx-cosx ）′=2e x sinx ， ∵x ∈（2k π，2k π+π）时，f ′（x ）＞0，x ∈（2k π+π，2k π+2π）时，f ′（x ）＜0， ∴x ∈（2k π，2k π+π）时原函数递增，x ∈（2k π+π，2k π+2π）时，函数f （x ）=e x（sinx-cosx ）递减，故当x=2k π+π时，f （x ）取极大值，其极大值为f （2k π+π）=e 2kπ+π[sin （2k π+π）-cos （2k π+π）]=e 2kπ+π×（0-（-1））=e 2kπ+π，又0≤x ≤2012π，∴函数f10．【考点分析】本题考查函数、数列与向量的综合应用，考查向量的夹角公式的运算及正切函数的定义． 【参考答案】B【解题思路】由题意知A n =（n ，f （n ）），→→=n n A A a 0，则θn 为直线A 0A n 的倾斜角，所以二、填空题： 11．【考点分析】本题主要考查了函数的概念和函数解析式，以及三角函数的基本运算．【参考答案】98-【解题思路】设ααcos sin +=x ，则12sin 2-=x α，1)(2-=x x f ，所以98)31(-=f ． 12．【考点分析】本题主要考查了导数的几何意义的应用，数列的运算及对数的运算性质的综合应用，考查了基本运算的能力． 【参考答案】 －1【解题思路】f ′（x ）＝（n ＋1）x n ，k ＝f ′（1）＝n ＋1，点P （1,1）处的切线方程为：y －1＝（n ＋1）（x －1），令y ＝0得，x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1，∴x 1×x 2×…×x 2011＝12×23×34×…×2010201120122011⨯＝20121，则log 2012x 1＋log 2012x 2＋…＋log 2012x 2011＝log 2012（x 1×x 2×…×x 2011）＝log 201220121＝－1． 13．【考点分析】本题主要考查两角和与差的正弦余弦正切，同角三角函数的基本关系式，正弦余弦函数的诱导公式及其运用，考查正弦函数的单调性．【参考答案】 －2145【解题思路】两式平方相加得：cos （x －y ）＝59，∵x 、y 为锐角，sin x －sin y <0，∴x <y ， ∴sin （x －y ）＝－1－cos 2x －y ＝－2149，∴tan （x －y ）＝sin x －y cos x －y＝－2145．14．【考点分析】本题主要考查向量的线性运算和数量积的基本运算．【参考答案】2 【解题思路】法一: 取AD 的中点M ,连接OM ．则．2121212121)(110)()(=⨯⨯+=+≤•+=+•+=•+•++=•+•+•+•=+•+=•AB OM法二:设θ=∠BAx ,则)20(),cos sin ,(cos ),sin ,cos (sin πθθθθθθθ≤≤++C B ,22sin 1cos sin sin cos cos sin )sin ,cos (sin )cos sin ,(cos 22≤+=+++=+•+=•∴θθθθθθθθθθθθθ15．【考点分析】本题考查等差数列的基本知识，递推数列的通项公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力．【参考答案】（1）9r =．（2）(,)[2(1)(2)]2r P n r r n =+--．（或(2)(1)2n r r r --+等）【解题思路】 （1）(1)(3,)2r r P r +=, 由题意得(1)362r r +>, 所以,最小的9r =．（2）设n 边形数列所对应的图形中第r 层的点数为r a ,则12(,)r P n r a a a =++⋅⋅⋅+ 从图中可以得出:后一层的点在2n -条边上增加了一点,两条边上的点数不变, 所以12r r a a n +-=-,11a =所以{}r a 是首项为1公差为2n -的等差数列, 所以(,)[2(1)(2)]2r P n r r n =+--．（或(2)(1)2n r r r --+等） 三、解答题：16．【考点分析】本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式和向量等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化、分类讨论等数学思想．[解析] （1）f （x ）＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得， k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ．∴函数y ＝f （x ）的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6]（k ∈Z ）（2）x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]， sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12] 当a >0时，f （x ）∈[－2a ＋b ，a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，当a <0时，f （x ）∈[a ＋b ，－2a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝417．【考点分析】本题是解三角形的应用问题，考查三角形中的正弦定理、三角恒等变换、三角函数性质等基础知识，主要考查运算求解、推理论证等能力． 解：（1）连结DE ，在∆CDE 中，3609015105150o o o o o DCE ∠=---=， （1分）11111sin150sin 3022224o o CDE S DC CE ∆=⋅⋅=⨯=⨯=（平方百米） （4分）（2）依题意知，在RT ∆ACD 中，tan 1tan 60o AC DC ADC =⋅∠=⨯= （5分） 在∆BCE 中，1801801054530o o o o o CBE BCE CEB ∠=-∠-∠=--= 由正弦定理sin sin BC CECEB CBE=∠∠ （6分）得1sin sin 45sin sin30o oCE BC CEB CBE =⋅∠=⨯=∠ （7分） ∵000cos15cos(6045)cos60cos 45sin 60sin 45o o o o =-=+ （8分）12==（9分） 在∆ABC 中，由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠ （10分）可得22AB =-= （11分）∴AB = （12分）18．【考点分析】本题主要考查一元二次不等式的应用，数列的基本应用和等差数列的性质，考查等价转化和建模能力．（2）设李顺第n 个月还清，则应有(12)(121)12500(50050)(12)50240002n n n -⨯--⨯++⨯-+⋅≥整理可得238280n n --≥，解之得3332130n +≥>，取31n =， 即李顺工作31个月就可以还清贷款． 这个月，李顺的还款额为(3012)(30121)24000[12500(50050)(3012)50]4502-⨯---⨯++⨯-+⋅=元，第31个月李顺的工资为191500 1.051500 2.5263789⨯=⨯=元，因此，李顺的剩余工资为37894503339-=． …………………12分 19．【考点分析】本题考查函数、导数和三角函数知识的综合运用，利用导数研究函数的单调性、值域，主要考查运算求解能力．解：（Ⅰ）'()1cos 0,()[0,]f x x f x π=+≥∴在上单调递增．min max ()(0)0,()()f x f f x f ππ∴====所以函数()f x 的值域为[0,]π ……………………． 5分 （Ⅱ）()cos g x x =，记2()cos 1x x ax μ=--，则'()sin 2x x ax μ=--． 当12a ≤-时，"()cos 20x x a μ=--≥,所以'()x μ在[0,)+∞上单调递增． 又'(0)0μ=，故'()0x μ≥．从而()x μ在[0,)+∞上单调递增．所以()(0)0x μμ≥=，即2cos 1x ax ≥+在[0,)+∞上恒成立…………．8分 当21->a 时，0)("),0(,0,021)0("00<∈>∃∴<--=x x x x a μμ时，使． 所以在)('x μ]0(0x ，上单调递减，从而0)0(')('=≤μμx ， 故()x μ在],0(0x 上单调递减，0)0()(=<μμx 这与已知矛盾． ……综上，故a 的取值范围为12a ≤-． ……………．12分 20．【考点分析】本题主要考查数列的基本应用和等比数列的性质，以及数列的通项公式考查等价转化和函数方程思想．解：（I ）∵0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+，2n n )1a ()a (f -=，)1a (10)a (g n n -=， ∴1)-(a 1)-10(a )a a (2n n n 1n =+-+． 即01)-9a -(10a )1a (n 1n n =-+．又2a 1=，可知对任何*N n ∈，01≠-n a ，所以101a 109a n 1n +=+．…………2分 ∵1091a 1101a 1091a 1a n n n 1n =--+=--+， ∴{}1a n -是以11a 1=-为首项，公比为109的等比数列．………4分 （II ）由（I ）可知1a n -=1n )109(- （*N n ∈）． ∴n n n )109)(2n ()1a )(2n (109b +=-+=．)2n 11(109)109)(2n ()109)(3n (b b n1n n 1n ++=++=++．……………………………5分 当n=7时，1b b 78=，78b b =； 当n<7时，1b b n1n >+，n 1n b b >+； 当n>7时，1b b n1n <+，n 1n b b <+．∴当n=7或n=8时，n b 取最大值，最大值为7887109b b ==．……8分（III ）由1m 1m m m b t b t ++<，得0])3m (910t 2m 1[t m<+-+ （*） 依题意（*）式对任意*N m ∈恒成立，①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．…………9分②当t<0时，由0)3m (910t2m 1>+-+，可知0t m <（*N m ∈）． 而当m 是偶数时0t m>，因此t<0不合题意．…………10分③当t>0时，由0t m>（*N m ∈）,∴0)3m (910t 2m 1<+-+ ∴)2m (10)3m (9t ++>． （*N m ∈）……11分 设)2m (10)3m (9)m (h ++=（*N m ∈）∵)2m (10)3m (9)3m (10)4m (9)m (h )1m (h ++-++=-+ =0)3m )(2m (1109<++⋅-, ∴ >>->>>)m (h )1m (h )2(h )1(h ．∴m)(h 的最大值为56)1(h =． 所以实数t 的取值范围是56t >．…………………………………13分21．【考点分析】本题考查函数、导数和数列知识的综合运用，利用导数研究函数的单调性、极值，主要考查运算求解、推理论证和化归转化等能力．解：（I ）11()0ex f x e x x -'=-==，得1x e= 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：∴当1x e=时，()f x 取得极大值1()2f e =-，没有极小值； …………（5分）（II ）∵112()3n n a f e a +'=+，∴12n n a a e +=+, 12n n a e a e++=+，∴(21)n n a e =- …………（7分） 假设数列{}n a 中存在成等差数列的三项,,()r s t a a a r s t <<，则2s r t a a a =+，112(21)(21)(21),222,212s r t s r t s r t r e e e +-+--=-+-=+∴=+110,0,2,12,s r t r s r t r -+--+>->∴+又为偶数为奇数假设不成立因此，数列{}n a 中不存在成等差数列的三项 …………（10分） （III ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x xx x --= 即20211ln()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =-- 211211()ln()x g x x x x x =--，0ln )(1211>='x x x g x ，1()g x 是1x 的增函数，∵12x x <，∴2122222()()ln()0x g x g x x x x x <=--=； 222211()ln()x g x x x x x =--，0ln )(1222>='x x x g x ，2()g x 是2x 的增函数，∵12x x <，∴1211111()()ln()0x g x g x x x x x >=--=， ∴函数2211()ln()x g x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（12分） 又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数， ∴函数2211()ln()x g x x x x x =--在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（14分） （方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（12分） ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（14分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分。