知 的y0 ,
y1 ,
,
yi，
求
出yi
，
1
这
可
以
通
过
递
推
公
式得
到
。
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§7.1 引言
初值 问题 的 常见 解法
单步法： 利用前一个单步的信息(一个点)，在
y=f(x) 上找下一点yi， 有欧拉法，龙格－库格法。
预测校正法： 多步法，利用一个以上的前点信息求
f(x)上的下一个yi， 常用迭代法，如改进欧拉法，阿当姆
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§7.2 欧拉方法
一. 欧拉（Euler）格式
P231
设 节 点 为xi a ih (i 0,1,2 , n)
式 中: h b a n
方 法 一 ：Taylor展 开 法
y( xi1 )
y( xi )
y( xi )(xi1
xi )
y(
2!
i
由于y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到,
我们用数值方法求得y(x)在每个节点xk上y(xk)的近 似值, 用yk表示, 即yk≈y(xk), 这样y0, y1, ..., yn称为微 分方程的数值解。
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§7.2 欧拉方法
本节内容 一. 欧拉格式 二. 梯形格式 三. Euler预估—校正法 四. 误差估计、收敛性和稳定性 返回章节目录
,
y(b)
求 解y
常常可以将边解问题转化为初值问题求解。
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§7.1 引言
2. 初值问题
约 束 条 件 为 在 自 变 量 的初 值 上 已 知 函 数 值 ， 如：
y y(
x0
f )
(x, y) y0
dy
y(
/ dx x0 )
f y0
(
x,
y)
x
/
y0 x
x
x
x
x
h
x
0 x0
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§7.1 引言
例 ： 方 程xy 2 y 4x y 2 y 4 x
令 ：f ( x, y) 2 y 4， 且 给 出 初 值y(1) 3 x
就 得 到 一 阶 常 微 分 方 程的 初 值 问 题 ：
dy f ( x, y) 2 y 4
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P230定理1
初 值 问 题 的 解 必 存 在 且唯 一 。
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§7.1 引言
三. 数值解法含义
P230
所谓数值解法, 就是设法将常微分方程离散化, 建 立差分方程, 给出解在一些离散点上的近似值。
微分方程的数值解: 设方程问题的解y(x)的存在区
间是[a,b], 令a= x0< x1<…< xn =b, 其中hk=xk+1-xk, 如是等距节点h=(b-a)/n, h称为步长。
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§7.1 引言
二. 两类求定解问题
实际中求解常微分方程的所谓定解问题有两类: 初值问题和边值问题
定解指已知因变量和/或其导数在某些点上是已 知的(约束条件)。
1. 边解问题
约束条件为已知，在自变量的任一非初值上， 已知函数值和/或其导数值，如
y f ( x, y, y)
y(a)
近 似 解 析 解 数 值 解 （ 适 合 于 计 算 机计 算 ）
很多微分方程的解不能用初等函数来表示，有时 即使能够用解析式表示其解，但计算量太大而不实 用(表达式过于复杂)。
需要用数值方法来求解，一般只要求得到若干个 点上的近似值或者解的简单的近似表达式(精度要求 满足即可)。
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)
(
xi1
xi )2
y( xi ) hf ( xi , y( xi ))
h2 2
y(i )
或
可忽略
yi1 yi hf ( xi , yi )
(i 0,1,2 , n 1) 式2
式2叫Euler显 格 式 ， 可 循 环 求 解 。
方 法 二 ： 数 值 微 分 法—— 实 质 还 是Taylor展 开 法 （ 略 ）
（ 一 个 自 变量 ） （ 一 个 以 上自 变
量
）
考 虑 一 阶 常 微 分 方 程 的初 值 问 题
dy f ( x, y) dx y( x0 ) y0 解函数 y y(x)
x [a,b]
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式1
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§7.1 引言
求 精 确 解 一 般 极 困 难 ，求 近 似 解
第七章 常微分方程的数值解法
计算机学院 陈克建 6 学时
本章内容
§7.1 引言 §7.2 欧拉方法 §7.3 龙格—库塔方法 §7.4 阿达姆斯方法 小结 作业与实验
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本章要求
1. 熟悉Euler显格式,梯形法及Euler预校法; 2. 熟悉局部截断误差及绝对稳定性; 3. 掌握龙格—库塔法。
x0
求 解y( x)， 以 满 足 上 述 两 式 ， 即在a x0 x1 xn b
上 的y( xi )的 近 似 值 yi (i 0,1,2, , n)。
通 常 取 等 距 节 点 ， 即h xi1 xi， 有
xi x0 ih (i 0,1,2, , n)
初 值 问 题 的 数 值 解 法 特点 ： 按 节 点 顺 序 依 次 推进 ， 由 已
斯法。
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§7.1 引言
本章：求(式1)的数值解，即解函数y( x)在一些离散点
x0 x1 x2 xn xn1
上的值 的近似解
y( x1 )
y( x2 ) y( xn ) y1 y2
y( xn1 ) yn yn1
ynΒιβλιοθήκη y( xn )yy f (x)
dx
x
y(1) 3
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§7.1 引言
只 要 函 数f ( x, y)适 当 光 滑 连 续 ，
且 关 于y满 足 李 普 希 兹(Lipschitz)条 件 ，
即 存 在 常 数L， 使 得
f (x, y) f (x, y) L y y 由常微分方程理论知：
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§7.1 引言
本节内容
一. 问题提出 二. 两类求定解问题 三. 数值解法含义 返回章节目录
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§7.1 引言
一. 问题提出
有一个或多个导数及其函数的方程式称为微分
方程，在工程中常遇到求解微分方程的问题。
微
分
方
程常偏微微分分方方程程