８．刘善存，汪寿阳，邱菀华．一个证券组合投资分析
得到基于ＶａＲ约束的不允许卖空情况下台无风险的均 的对采论方法．系统工程理论与实践，２００１，（５）：８８—９２．
值一方差投资组合的最优投资策略。结果如表ｌ所示。
９．李仲飞．汪寿阳．投资组合优化与无套利分析．北
由表Ｉ可知，对于一个最低收益率为０．０８的投资者来 说。他对六种证券的最优购买比例应分别为２．９３％、
７．Ｐｅｎｇ Ｚｈｓｎｇ。Ｃｈａｏｙｕａｎ Ｙｕｅ．Ｔｈｅ Ｐｉｖｏｔｉｎｇ Ａｌｇｏ－ ｆｉｔｈｍ Ｏｎ Ｔｈｅ Ｅｘｐｅｃｔｅｄ Ｕｔｉｌｉｔｙ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ Ｍｅｄｅｌ Ｗｉ ｔｈｏｕｔ Ｓｈｏｒｔ Ｓａｌｅｓ．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ａｐｐｌ ｉｃａｔ ｉｏｎｓ，Ｊｕｎｅ，２００６：２７６—２８０．
益率凡产丑ｋ＋（Ｉ－－ｅｋ）ｍ其均值为ｒｐ＝ｒｒｘ＋（１一ｅＴｘ）ｒｒ，方差为
咕—☆。
ＶａＲ（ＶａｌＵｌｅ砒Ｒｉｓｋ）即风险价值。是指在一定的概率水 平下（置信度），某一金融资产或投资组合在未来特定的一 段时间内最大的可能损失。其表达式为：
其中，斤为元风险资产的借贷利率。 在模型（２）中．当１－ｅＴｘ＇＿＿Ｏ时．投资组合中存在无风险 资产的贷出；当１－ｅＴｘｓｏ时。投资组合中存在无风险资产 的借人。 在模型（２）中，第一个约束条件表示投资者的期望收 益率有一个最低标准。也就是投资者有某个能够接受的最 低收益率ｒｏｏ第二个约束条件为ＶａＲ约束。该约束条件的 几何意义为在（咋。‘）坐标平面上，以直线，ｈ（１－ｅｒｘ）ｒＦＣＰ－ｌ （ｃ）Ｖ７Ｇｋ－ｖａｎｏ为边界的上半平面。该直线或其以上的 投资组合期望收益率超过－ｖａ凡的概率不低于置信度ｃ。 第三个约束条件表示无风险资产的借人比例不超过总投 资资金的ｋ（ｋ＞－－Ｏ）倍。第四个约束条件表示第ｊ种资产的 投资比例是非负数，即投资组合不允许卖空。由此可见．模 型（２）的经济含义即是指，在满足上述四个约束条件的前 提下，投资者应如何分配各种资产．使投资组合的方差（风 险）最小。
ｔｎｃａｅ－ｖａｒｌａｎｃｅ ｍｏｄｅｌ：ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｓｅ—
柱据（４）式可知。模型（２）的二次规划于问题为
ｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｂａｓｌｅ ｃａｐｉｔａｌ ａｃｃｏｒｄ．Ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．
ｍｌｎｘｒＧｘ
＾【＋（１－矗）ｒ声ｒｅ
Ｇｌｏｒｉａｍｕｎｄｉ．ｏｒｇ／ｐｉｃｓｒｏ￥００ ｒｃｅｓ／ｇａａｂ２．Ｐｄｆ，２００１—
京：科学出版社，２００１． １０．唐小我，马永开．现代组合预测和组合投资决策
３．３１％、１９．６１％、７．９％、０％和０％．购买无风险资产６６．２５％。
同样，也可以得到其它投资组合期望收益率所对应的最优
投资策略。在计算过程中．我们发现。当ｌ卸．１７时，模型无
’
可行解。
方法及应用．北京：科学出版社，２００３． １１．张忠桢。凸规划一投资组合与网络优化的旋转算
１７．王春峰，屠新曙，厉斌．效用函敷意义下投赍组合 有效选择问题的研究．中国管理科学，２００２，１０（２）：
袁１不允许卖空情况下舍有无风险资产时均值一方差的投资组合的最优投资策略 １５—１９。
ｒ０
ｘｌ
砘
Ｘ３
ｋ
≈
砘
Ｘ７
～
Ｏ＇ｐ
基金项目：田家自然科学基
０．０８０ ０ ０．０２９ ３ ０．０３３ｌ ０．１９６１ ０．０７９ ０ ０．０００ ０ ０．０００ ０ Ｏ．６６２ ５ ０．０８０ ０ ０．００５ ６ 金赍助项目（７０４７１０７７）．
…．Ｌ）７；协方差矩阵Ｃ＝（嘞）删，叩－－ｃｏｖ（兄，马）。Ｊ。卢１．２．
…，ｎ；无风险资产的收益率为粕第ｊ种风险资产的投资比
例为而．／＝Ｉ，２，…。ｎ，记异（轧孙…，毛）７。无风险赍产的投
资比例为玉叶ｌ。ｅ表示分量全为ｌ的ｎ维列向量。当投资组
台仅古有风险资产时．而＋耐…＋五产ｌ，则有ｅＴｉ＝－Ｉ，投资组合 的收益率凰＝矾，其均值为ｒ手＾，方差为ｏ，寿ｘ＇Ｇｘ。当投资 组合古有无风险资产时．ｘｘ４－ｘ２＋…＋甜‰＝ｌ，投资组台的收
收稿日期：２００７－１卜１５．
０．１６０ ０ ｏ｜２２３ ８ ０．０００ ０ ｎ７３４ ４ ０．５４１ ８ ０．０００ ０ ｎ０００ ０ －０．５０００ ０．１６０ Ｏ ０．０２９ ６
一１１３—
万方数据
大期望损失满足ｖａＲ约束条件下，期望收益率最大化的 不允许卖空情况下具有ＶａＲ约束的古有无风险资产的投
最优投资策略。避国泰等研究了允许卖空情况下基于ＶａＲ 约束的均值一方差投资组合的有效前沿和最优投资比例。
资组合ｒａ模ｉ型ｎ为ｍ：
但是。在投资过程中，允许卖空会加大投资者和金融 市场的风险。一般情况下。不发达市场（如中国的证券市 场）是不允许卖空的。且在实践投资活动中，投资者是不允 许无限制借人无风险资产的。因此。本文在考虑＂ＣａＲ约束
２－７．
上算法求解。
５．菲利普·乔瑞著．陈跌等译．风险价值ＶＡＲ一金融
四、算例
风隆管理新标准．北京：中信出版社，２００５．
本文借鉴文献“８”的数据。设ｃ为９９％，ｋ为０．５，且玉
６．张鹏，张忠植，岳超源．基于效用最大化的投资组
风险资产的收益率为５．８５％，ｅ＝１０４，ＶａＲ为０．００１，当ｒｅ分 合旋转算法研究．财经研究，２００５，（１２）：１１７—１２６．
Ｏ．１（）ｏ ０ ０．０５６ ６ ０．０６３ ９ ０．３７８ ６ ０１５２ ４ ０．０００ ０ ０．０００ ０ ０．３４８ ５ Ｏ．１００ ０ ０．０１０ ８
作者简介：张鹏，工学博士，
ｎ１２１ ０ ０．０８５ ３ ０．０９６ ２ ０．５７０ ２ ０．２２９ ５ ０．００００ ０．０００ ０ ０．０１８ ８ Ｏ．１２１ ０ ０．０１６ ３ 武汉科技大学管理学院讲师：曾
ｘ２０
１７８９—１８０４．
设冉＝（１ｌｎ．…．１ｌｎ：）ｒ．运用旋转算法计算模型（５）。如果
前后两个予问题的解一和ｘｋ＊ｌ满足条件Ｉ一—一Ｉ≤ｅ，＃ ｌ旷，则＿Ⅵ是模型（２）的最优解。否则令一：＝一。再运用以
４．迟国泰，姜大治，奚扬等．基于ＶａＲ收益率约束的 贷款组合优化决策模型． 中国管理科学，２００２，（６）：
论。五十多年来，该理论在许多方面取得了重大进展。如一
三，ＭａＲ约束下不允许卖空且含无风险瓷产的的Ｍ—
些学者将ＶａＲ（Ｖａｌｕｅ ａｔ彤８ｋ）方法引入到投资组合的研究 Ｖ投资组合
中。ＡＩｅｘａｎｄｅｒ等分析了基于ＶａＲ约束的允许卖空情况下
的投资组合有效前沿的结构特征。ｃ眦ｐｂｅＵ等研究了在最
假设无风险资产的借贷利率相等。且无风险资产的借 人比例不超过总投资资金的七（土≥０）倍。则有１－ｅｋ兰＾。
Ｆｘ＋（１－ｅｒｘ）ｒ声＿＿ｒｏ
ｒｒｘ＋（１一以）Ｉ声∥（ｃ）、俩Ｆ—ｖａａｏ
（２）
ｌ—ｅｋ兰－ｋ
ｘ≥０
的基础上。提出含有无风险资产且不允许卖空的均值一方 差投资组合模型．并结合序列：次规划法和不等式组的旋
转算法求解。 二．符号说明 为了讨论问题的方便，我们在文中不考虑交易成本和
税收．并假设资产无限可分。设有ｎ种风险资产和一种无 风险资产可供选择，第ｉ种风险资产的收益率为足（随机 变量），其期望值ｒｒ＝Ｅ（Ｒ），记ｊｂ（风，焉．…，风）７，Ｊ＝（ｎ．丘．
பைடு நூலகம்法．武汉：武汉大学出版社，２００４． １２．张忠桢，张鹏．马科维兹投资组合选择模型的旋
由此可见。结合序列＝次规划法和不等式组的旋转算 转算法．武汉大学学报（理学版），２００３，（１）：２５－２８．
法，并通过计算机编程，可以很快计算出不同期望收益率
１３．张忠桢，张鹏．凸借款成本下均值方盖投资组合
所对应的最优投资比例。投资者根据上述的计算结果，并 问题的算法。武汉理工走学学报．２００２，（８）：９０－９２．
０．１３００ ０．０９７ ６ Ｏ．１１０ｌ ０．６５２ ３ ０．２６２ ６ ０．０００ Ｏ ００００ ０ ＿ｏ．１２２５ ０，１３０ Ｏ ０．０１８ ６ 永采，华中师范大学社会学系．
ｎ１５００ ０．１２４ ９ ０．Ｉ加９ ０．８３４ ７ ｎ３３６ ０ ０．００００ Ｏ．０００ ０ ＿０４３６５ ｏ．１５０ ０ ０．０２３ ８
０７一１３．
删硼∥（ｃ）倔阿肌啦等萋要产卸
ｌ—ｅｋ≥－ｋ
（５＞
３．Ｃａｍｐｂｅｌｌ Ｒ，Ｈｕｉ ｓ∞ｎ Ｒ，Ｋｏｅｄｉｊｋ【．Ｏｐｔｉｍａｌ ｐｏｒｔｆｏｌ ｉｏ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ａ Ｖａｌｕｅ—ａｔ—Ｒｉｓｋ ｆｒａｍｅ－ ｗｏｒｋ．Ｊｏｕｒｎａ ｌ ｏｆ Ｂａｎｋｉｎｇ＆Ｆｉｎａｎｃｅ，２００１，（２５）：
后，以一十具体的例子证明，在投资组合中引八无风险资产可以降低投资风险．
关键词：投资组合：旋转算法；ＶａＲ 一．引言 关于最优投资组合策略问题，具有莫基性的成果是美
ｆ｝己０００）即ＶａＲ
（１）
其中口（·）是标准正态分布函数，扩（ｃ）是置信度为ｃ
国经济学家Ｈ．Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ提出的均值一方差投资组合理 的分位点值。
结台自己的实践经验和风险偏好做出科学的决策。 从本文的计算过程和结果可知，结台序列二次规划和
１４．钱颂迪．运筹学（修订版）．北京：清华大学出版 社，１９９０．
不等式组的旋转算法．可以求解凸规划问题。这为解决凸
１５．赵贞玉，欧阳令南．基于Ｍ－ＳｅｍｉＡ．Ｄ组合投资模
规划问题提供了一种新思路。而本文采用的旋转算法避免 型及对上海股市实证研究．中国管理科学，２００４，１２（Ｉ）：
因为“ｘ）＝＾＋（１一ｅｋ）ｒ广口一（ｃ）、／ｉ７西＿＋ｖａＩｌａ是凹函 数．所以模型（２）为凸规划问题。可以采用序列＝狄规划法 求解。“ｘ）在一点处的一阶泰勒展开式为：
一１１２一
万方数据
●２（：１０７年第儿期
■现代管理科学