2020年云南省曲靖一中高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|x 2−2x ≤0}，集合B ={x|x =2a,a ∈A}，则A ∩B 为( )A. {0}B. {2}C. {0,2}D. {1,4}2. 复数(1+i)i 的虚部为( )A. 1B. −1C. iD. −i3. 在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 1 B. 7 C. 25 D. −74. 某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km 价格为1.8元(不足1 km 按1 km 计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为( )．A.B.C.D.5. 《九章算术》中有一题目：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：我羊食半马．马主曰：我马食半牛．今欲衰偿之，问各出几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：我羊所吃的禾苗只有马的一半．马主人说：我马所吃的禾苗只有牛的一半，若按比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？在这个问题中，若禾苗主人要求赔偿九斗粟，一斗粟相当于现在的13.5斤，则牛主人赔偿的粟比羊主人与马主人赔偿的粟之和还要多A. 277斤B.1087斤C.13514斤 D.24314斤6. 已知条件p ：|x +1|>2，条件q ：5x −6>x 2，则￢p 是￢q 的( )A. 充要条件B. 充分但不必要条件C. 必要但不充分条件D. 既非充分也非必要条件7. 阅读程序框图，则该程序运行后输出的k 的值是( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 已知实数x,y 满足线性约束条件{x −4y −1≤02x +y −2≤02x −3y +6≥0，则y−1x−2的最小值为( )A. −13B. −12C. 1D. 29. 已知抛物线y 2=2px(p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A. x =1B. x =−1C. x =2D. x =−210. 已知变量x 与y 的取值如表所示，且2.5<n <m <6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是( ) x 2 3 4 5y6.5mn2.5A. y ∧=0.8x +2.3B. y ∧=2x +0.4C. y ∧=−1.5x +8D. y ∧=−1.6x +1011. 已知A(−3,0)，B(0,4)，点C 在圆(x −m)2+y 2=1上运动，若△ABC 的面积的最小值为52，则实数m 的值为( )A. 12或112B. −112或12C. −12或112D. −112或−1212. f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)=2016x +log 2016x ，则函数f(x)的零点的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知a >0，a ≠1，则f(x)=log a2x+1x−1的图象恒过点_____14.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B、C恰好是双曲线M：x29−y216=1的左右焦点，且顶点A在双曲线M的右支上，则sinC−sinBsinA=______ ．15.已知球O与棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的各棱都相切，则该球的表面积为______．16.在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n−3，则a5=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如下(单位：cm)(1)根据频率分布直方图，求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值;(2)在身高为140—160的学生中任选2个，求至少有一人的身高在150—160之间的概率．18.在三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且sinB(√3cosB+sinB)=32．(1)求角B的大小；(2)若b=√3，求△ABC面积的最大值．19.如图所示，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F．(1)求证：SC⊥AF；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F1F2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|F1F2|=4，|PF1|=√55．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点P(3,0)的直线l和椭圆C交于A，B两个不同的点，设AB的中点为Q(x0,y0)，Q(x0,y0)，求x0+y0的取值范围．21. 已知函数f(x)=xlnx ．(1)求f(x)在[13,3]上的最大值与最小值； (2)求证：f(x)−(x +1)2≤ −3x −1．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l 的参数方程是{x =−35t +2y =45t(t 为参数).设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．23. 已知a,b,c ∈R +，∀x ∈R ，不等式|x −1|−|x −2|≤a +b +c 恒成立．(1)求证：a 2+b 2+c 2≥13；(2)求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合A ={x ∈Z|x 2−2x ≤0}={0,1，2}， 集合B ={x|x =2a,a ∈A}={0,2，4}， ∴A ∩B ={0,2}． 故选：C ．利用交集性质求解．本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：∵(1+i)i =−1+i ， ∴复数(1+i)i 的虚部为1． 故选：A ．3.答案：D解析：本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力．利用向量的加减法运算，以及向量的数量积化简求解即可． 解：在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9−16=−7． 故选：D ．4.答案：B解析：本题考查分段函数图象，由实际问题抽象出函数图象、理解实际问题的变化与函数图象变化的对应是解题的关键，本题采取了将实际问题的函数模型求出，再寻求函数图象的方法，理解本题中计费的方式是解题的难点．根据题意可知函数图象为分段的常数函数，观察图象即可直接判定． 解：∵出租车起步价为5元(起步价内行驶的里程是3km)， ∴(0,3]对应的值都是5，∵以后每1km 价为1.8元，不足1km 按1km 计价，∴3<x ≤4时，y =5+1.8=6.8，4<x ≤5时，y =5+1.8+1.8=8.6， 故选：B5.答案：D解析：本题主要考查数列的概念与表示和等比数列，属于基础题． 根据题意得a 1+2a 1+4a 1=9，即可得．解：羊、马、牛的主人赔偿粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3， 则这3个数依次成等比数列，公比q =2， 于是得a 1+2a 1+4a 1=9， 解得a 1=97，a 2=187，a 3=367，故牛主人比羊主人与马主人赔偿的粟之和还多97斗， 即97×13.5=97×272=24314斤，故选D ．6.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复合命题之间的关系是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．解：p：|x+1|>2，得x>1或x<−3，￢p：−3≤x≤1，q：5x−6>x2，即q：x2−5x+6<0，即2<x<3，即￢q：x≥3或x≤2，即￢p是￢q的充分不必要条件，故选：B．7.答案：B解析：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环k S循环前 0 0第一圈是 1 1第二圈是 2 3第三圈是 3 11第四圈是 4 2059第五圈否故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环结构，累加运算变量S的值，并输出S≥100成立时，程序的执行次数．本题考查的知识点是循环结构，在求程序的运行结果时，我们可采用模拟运行的方法，逐步分析程序执行过程中各变量的取值，即可得到答案．8.答案：B解析：本题考查线性规划问题，属于中档题．表示P与可行域内的点Q 根据条件画出可行域，得到如图所示的阴影部分．设P(2,1)，可得k=y−1x−2连线的斜率，得到PQ斜率的最小值即可．解：作出实数x ，y 满足线性约束条件{x −4y −1≤02x +y −2≤02x −3y +6≥0表示的平面区域：得到如图所示的阴影区域，其中A(0,2)，B(1,0)，设Q(x,y)为区域内的动点，可得 k =y−1x−2表示P 、Q 连线的斜率，其中P(2,1)，运动点Q ，可得当Q 与A 点重合时，k PQ =−12是最小值， 故选：B ．9.答案：B解析：本题主要考查抛物线与直线的位置关系，属于一般题． 可以求出直线，联立求出p ，也可以利用点差法求解． 解：方法一：过焦点F(p2,0)且斜率为1的直线方程为y =x −p 2， 与抛物线方程联立可得y 2−2py −p 2=0，Δ=8p 2>0， 所以y 1+y 2=2p =4，所以p =2， 故准线方程为x =−1．方法二：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵A 、B 两点在抛物线上，∴{y 12=2px 1①y 22=2px 2② ， ①−②得，(y 1−y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1−x 2)，又线段AB 的中点的纵坐标为2，∴y 1+y 2=4， 又直线的斜率为1，∴y 1−y 2x 1−x 2=1，∴2p =4，p =2， ∴抛物线的准线方程为x =−p2=−1． 故选B ．10.答案：D解析：解：由题意，x −=3.5，y −=14×(6.5+m +n +2.5)∈(3.5,5.5)， 由2.5<n <m <6.5，可得为负相关，排除A ，B ，代入选项C ，D ， 可得D 满足． 故选：D ．由题意，x −=3.5，y −=14×(6.5+m +n +2.5)∈(3.5,5.5)，代入选项，可得A 满足． 本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，基本知识的考查．11.答案：D解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，能够将已知问题进行巧妙地转化，是解决本题的关键，属于中档题．由圆(x −m )2+y 2=1的圆心为(m,0)，半径为1，过圆心作AB 所在直线的垂线，交圆于C ，此时△ABC 的面积最小，直线AB 的方程为4x −3y +12=0，|AB |=5，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB 的距离为d =|4m+12|5，利用三角形的面积公式求出S =12×5×(|4m+12|5−1)，即可求出实数m 的值． 解：如图，因为圆(x −m )2+y 2=1的圆心为(m,0)，半径为1， 过圆心作AB 所在直线的垂线，交圆于C ， 此时△ABC 的面积最小，直线AB 的方程为4x −3y +12=0，|AB |=5，所以圆心到直线AB 的距离为d =|4m+12|5，S =12×5×(|4m+12|5−1)=52，解得：m =−12或m =−112，所以实数m 的值为m =−12或m =−112． 故选D ．12.答案：D解析：函数f(x)在x ∈(0,+∞)上为单调递增函数，且当x →0时，2016x →1,log 2016x →−∞，即存在x 0>0使得f(x 0)<0，结合函数的单调性可知函数在上有且仅有一个零点；因为函数为奇函数，所以在上也只有一个零点．13.答案：(−2,0)解析：本题考查了对数函数图像的定点问题，属于中档题． 解：由对数函数性质可知，当2x+1x−1=1即x =−2时，y =0， 即函数图像过定点(−2,0)． 故答案为(−2,0)．14.答案：35解析：解：由双曲线的方程得a 2=9，b 2=16，c 2=9+16=25， 即a =3，c =5， 则BC =2c =10，∵顶点A 在双曲线M 的右支上， ∴AB −AC =2a =6， 由正弦定理得sinC−sinB sinA=AB−AC BC=2a 2c=610=35，故答案为：35根据双曲线的方程求出a ，c 的值，结合正弦定理进行转化求解即可．本题主要考查双曲线的方程和性质，根据定义以及正弦定理进行转化求解是解决本题的关键．15.答案：8π解析：解：球O与棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的各棱都相切，∴球的直径就是正方体的面对角线的长．∴球的半径为√2，该球的表面积为：4πr2=8π．故答案为：8π．求出内切球的半径，即可求解球的表面积．本题考查几何体的内切球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．16.答案：−13解析：解：∵a n+1=2a n−3，∴a n+1−3=2(a n−3)，∵a1=2，∴a1−3=−1≠0，∴数列{a n−3}是以−1为首项，2为公比的等比数列，∴a n−3=−2n−1，∴a n=3−2n−1，∴a5=3−16=−13．故答案为：−13．由已知a n+1=2a n−3，可得a n+1−3=2(a n−3)，转化为利用等比数列的通项公式即可得出．正确转化和熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．17.答案：(1)；；(2)．解析：试题分析：(1)中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，由此可以估计平均数的值；(2)这名学生中，身高在之间的有个，身高在150—160之间的有人，从中任选人，共有种不同的选法，而身高在之间的只有一种选法，从而至少有一人身高在150—160之间的有种，从而求出其概率．试题解析：:(1)中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，所以中位数的估计值为．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 则平均数的估计值为．(2)这名学生中，身高在之间的有个，分别为A ，B ，身高在150—160之间的有人，分别为C ，D ，E ，F ，G ，H ，则从这人中任选个的所有基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，AG ，AH ，BC ，BD ，BE ，BF ，BG ，BH ，CD ，CE ，CF ，CG ，CH ，DE ，DF ，DG ，DH ，EF ，EG ，EH ，FG ，FH ，GH 共个，两个身高都在之间的事件有AB 共个，所以至少有一个人在150—160之间的概率为． 考点：本题主要考查了频率分布直方图中对中位数、平均数的估计，以及古典概型概率计算公式．18.答案：解：(1)由题意得√3sinBcosB +sin 2B =32，化简得√32sin2B −12cos2B =1，∴sin(2B −π6)=1，即可得2B −π6=π2，∴B =π3；(2)∵b =√3，B =π3，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−32ac=12，即可得a 2+c 2=3+ac ≥2ac ，∴ac ≤3， ∴S △ABC =12acsinB ≤12⋅3⋅√32=3√34． ∴△ABC 面积的最大值：3√34．解析：(1)利用两角和与差的三角函数化简sinB(√3cosB +sinB)=32.转化求解可得B 的大小． (2)利用余弦定理结合基本不等式求出ac ≤3，然后求解三角形的面积的最大值即可．本题考查三角形的解法，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．19.答案：证明：(1)∵SA ⊥平面AC ，∴SA ⊥BC ．∵AB ⊥BC ，且SA ∩AB =A ，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE，又∵AE⊥SB，且SB∩BC=B，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC，且EF⊥SC，AE∩EF=E，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC；(2)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面ADS，∴CD⊥AG，由(1)得SC⊥平面AEF，而AG在平面AEF上，∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．解析：本题重点考查了空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质等知识，属于中档题．(1)首先，证明SC⊥平面AEF即可，得到AF⊥SC；(2)首先，证明CD⊥AD，然后，得到CD⊥平面ADS，再结合(1)，证明AG⊥平面SDC，从而得到AG⊥SD．20.答案：解：(1)由2c=4，c=2，由勾股定理丨PF2丨=√丨PF1丨2+丨F1F2丨2=√15+16=9√55，由椭圆定义2a=丨PF1丨+丨PF2丨=√55+9√55=2√5，a=√5，b=√a2−c2=1，故椭圆方程为：x25+y2=1；(2)当直线与x轴重合时，Q(x0,y0)，此时x0+y0=0，若直线与x轴不重合，设l的方程为x=my+3，与椭圆联立得(m2+5)y2+6my+4=0，由△=20m2−80m>0，解得：m>2或m<−2，由韦达定理：y1+y2=−6mm2+5，y0=y1+y22=−3mm2+5，μ=x0+y0=my0+3+y0=(m+1)y0+3=15−3mm2+5=3tt2−10t+30，其中t=5−m，t∈(−∞,3)∪(7,+∞)+当t=0时，μ=0，当t≠0时，μ=3tt2−10t+30=3t+30t−10，设f(t)=t+30t−10，其中t∈(−∞,0)∪(0,3)∪(7,+∞)，函数图象知：f(t)∈(97,+∞)∪(−∞,−10−2√30)，从而μ=3f(t)∈[15−3√3010,0)∪(0,73)，综上μ=x0+y0∈[15−3√3010,7 3 ).解析：(1)由2c=4，c=2，根据勾股定理可知丨PF2丨=9√55，由2a=丨PF1丨+丨PF2丨，求得a=√5，根据椭圆的性质b=√a2−c2，求得椭圆方程；(2)分类直线与x轴重合时，Q(x0,y0)，此时x0+y0=0，当直线与x轴不重合，设直线方程，将直线方程代入椭圆方程，△>0，求得m 的取值范围，根据韦达定理及中点坐标公式，y 0=y 1+y 22=−3mm 2+5，代入求得μ=x 0+y 0=3tt 2−10t+30，根据t 的取值范围，构造辅助函数，根据函数图形求得μ=x 0+y 0的取值范围．本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，构造法求函数的取值范围，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f ′(x)=lnx +1，令f ′(x)>0，解得：x >1e ， 令f ′(x)<0，解得：0<x <1e ， 故f(x)在[13,1e )递减，在(1e ,3]递增，故f(x)min =f(1e )=−1e ，f(x)max =f(3)=3ln3； (2)要证f(x)−(x +1)2≤−3x −1， 即证lnx −x +1≤0，令ℎ(x)=lnx −x +1，(x >0)， ℎ′(x)=1x −1=1−x x ，令ℎ′(x)>0，即1−x >0，解得：0<x <1， 令ℎ′(x)<0，解得：x >1， 故ℎ(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减， 故ℎ(x)max =ℎ(1)=0， 故ℎ(x)≤0，问题得证．解析：本题考查利用导数研究闭区间上函数的最值问题，考查函数恒成立问题，考查不等式的证明，是中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可； (2)问题转化为证lnx −x +1≤0，令ℎ(x)=lnx −x +1(x >0)，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，从而证明结论即可．22.答案：解：曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ.又x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2y=0．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：y=−43(x−2)，令y=0，得x=2，即M点的坐标为(2,0).又曲线C的圆心坐标为(0,1)，半径r=1，则|MC|=√5，∴|MN|≤|MC|+r=√5+1．解析：利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：y=−43(x−2)，令y=0，可得M点的坐标为(2,0).利用|MN|≤|MC|+r即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：证明：(Ⅰ)∵|x−1|−|x−2|≤|x−1−x+2|=1，∴a+b+c≥1．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2≥1，∴a2+b2+c2≥13．(Ⅱ)∵a2+b2≥2ab，2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2，即a2+b2≥(a+b)22两边开平方得√a2+b2≥√22|a+b|=√22(a+b)，同理可得√b2+c2≥√22(b+c),√c2+a2≥√22(c+a)，当且仅当a=b=c时，等号成立．三式相加，得√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c)⩾√2．解析：本题主要考查绝对值不等式的应用，利用基本不等式证明不等式，属于中档题．(Ⅰ)由已知，a+b+c≥1，再利用基本不等式即可得证；(Ⅱ)分析可知√a2+b2≥√22(a+b)，√b2+c2≥√22(b+c),√c2+a2≥√22(c+a)，三式相加即可得证．。