2013镇海中学跨区招生数学试题卷满分：120分 时间：90分钟一、选择题（每题4分，共40分）1、把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组，现在还有5个字母D 、M 、Q 、X 、Z 请你按原规律补上，其顺序依次为 -------------------------------------------------------------------（ ）①FRPJLG ②HIO ③NS ④BCKE ⑤VATYWU (A )QXZMD (B )DMQZX (C )ZXMDQ (D )QXZDM2、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于------（ ） （A ）－4x ＋3（B ）5（C ）2x ＋3（D ）4x ＋33、若不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，则a+b =---------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）21（B ）23 （C ）21-（D ）23- 4、若m m m =-+-20082007，则=-22007m ---------------------------------------（ ） （A ）2007 （B ）2008 （C ）20082 （D ）-200825、方程07946=--+y x xy 的整数解的个数为 -------------------------------------------（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46、在平面直角坐标系中有两点A (–2，2)，B (3，2)，C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有----------------------------------------------------------------------------（ ）(A )1个 (B )2个 (C )4个 (D )6个7、一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m 、n ，得到一个点P (m ,n )，则点P 既在直线6+-=x y 上，又在双曲线xy 8=上的概率为------ ( ) (A )61 (B )91 (C )181 (D )3618、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论：①0>b ，②0<c ，③042>-ac b ，④0>++c b a ，⑤024>++c b a .其中正确的有---------------------------------------------------------------（ ）(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个 第8题图9、如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ( )(A ) 2)21(+ (B)251+ (C )253+ (D ) 2537+10．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2(3)2y t =--+，则t 的取值范围为（ ）（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥３ （D ）以上都不对．第9题图y o1=xFEMBC DA二、填空题（每题 6分，共30分）11、已知关于x 的不等式mx -2≤0的负整数解只有-1,-2，则m 的取值范围是 _____ . 12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正 多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为_______________. 13、如图，△OAP 、△ABQ 是等腰直角三角形，点P 、Q 在双曲线)0(4>=x y 上，直角顶点A 、B 均在x 轴上，则点Q 的坐标为_______________.第11题图 第13题图 14、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解为⎩⎨⎧==65y x ，则方程组⎩⎨⎧=+=+222111435435c y b x a c y b x a 的解为____________.15、如图，墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你搬走其中部分小正方体，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走 __ ____ 个小正方体.三、解答题（共50分）16、（本题满分6分）如图，ABCD 是矩形纸片，E 是AB 上一点，且BE ：EA ＝5：3，EC =155，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设这个点为F ，求AB 、BC 的长．17、（本题满分8分） 如图，已知四边形ABCD 内接于一圆，AB =BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM =DC +CM（图1）（图2）OM N Q PHK FEDCBAx 18、（本题满分13分）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线21001x y =的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米.⑴ 如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？⑵ 如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱。

①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与坡面的最近距离为多少米？ ②这种情况下，直接写出下垂的电缆与坡面的最近距离为多少米？19、(本题满分13分)如图，直线AD 对应的函数关系式为1--=x y ，与抛物线交于点A (在x 轴上)、点D ，抛物线与 x 轴另一交点为B （3,0）, 抛物线与y 轴交点C （0,-3）,； (1)求抛物线的解析式；(2)P 是线段AD 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； (3)若点F 是抛物线的顶点，点G 是直线AD 与抛物线对称轴的交点，在线段AD 上是否存在一点P ，使得四边形GFEP 为平行四边形；(4)点H 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点Q ，使A 、D 、H 、Q 这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q 点坐标；如果不存在，请说明理由．20、(本题满分10分)一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，•它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32•人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，•可以使得这32个人满意的总分达到最小？最小值是多少？（•有些人可以不乘电梯而直接从梯梯上楼）．答案1.D ；2.B ；3.C ；4.B ；5.A ；6.D ；7.C ；8. C ；9.B ；10.C ；y 1++14. 解：⎩⎨⎧5a 1x ＋3b 1y ＝4c 1，5a 2x ＋3b 2y ＝4c 2变形为⎩⎨⎧a 1×5x 4＋b 1×3y 4＝c 1， a 2×5x 4＋b 2×3y 4＝c 2⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2 的解是⎩⎨⎧x ＝5，y ＝6， 比较发现⎩⎨⎧5x4＝5， 3y 4＝6解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝815. 解：第1列最多可以搬走9个小正方体；第2列最多可以搬走8个小正方体；第3列最多可以搬走3个小正方体；第4列最多可以搬走5个小正方体；第5列最多可以搬走2个小正方体．9+8+3+5+2=27个．故最多可以搬走27个小正方体．故答案为：27．16.∵△BCE沿折痕EC向上翻折，点F恰好落在AD边上，∴EF=EB，CF=CB，设BE=5x，则AE=3x，AB=CD=8x，在Rt△AEF中，AF=(5x)2－(3x)2=4x，设BC=t，则CF=AD=t，∴DF=t-4x，在Rt△DFC中，t2=（t-4x）2+（8x）2，解得t=10x，在Rt△BCE中，（5x）2+（10x）2=（155）2，解得x=3，∴AB=8x=24，BC=10x=30.17.证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，如图，∵BM⊥AC，而ME=MC，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵A B= B D，∴∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，∴∠BEC=∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，∴∠BEA=∠BCD，而∠BAE=∠BDC，所以△ABE≌△DBC，∴AE=CD，∴AM=DC+CM．18. 解：（1）以H为坐标原点，HK方向为x轴正方向建立直角坐标系。

当电缆最低点离水平地面距离为6米时，抛物线的顶点坐标为（40，6）此时，抛物线的解析式为y＝1100(x－40)2＋6令x=0则y=22∴电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度。

（2）①以D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立直角坐标系。

设此时抛物线解析式为y＝1100x2＋bx＋c易知：E（0,20）F（50,30），代入解析式可求得b＝－310，c＝20.∴y＝1100x2－310x＋20易求得斜坡所在直线的解析式为：y=15x设一条与x 轴垂直的直线x=m 与抛物线交于M ，与斜坡交于N 。

则：MN=1100 m 2－310m ＋20－15m ＝1100 (m －25) 2＋13.75∴ 当m=25时，MN 的最小值为13．75即在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为13．75米。

∴点H 的纵坐标为3， ∴x 2-2x-3=3，整理得，x 2-2x-6=0，解得x 1=1-7，x 2=1+7，∵点A 的横坐标为-1，点D 的横坐标为2， 2-（-1）=2+1=3，根据平行四边形的性质，1-7+3=4-7，1+7+3=4+7， ∴点Q 的坐标为（4-7，0）或（4+7，0），综上所述，存在点Q （-3，0）或（1，0）或（4-7，0）或（4+7，0），使A 、D 、H 、Q 这四个点为顶点的四边形是平行四边形．20.解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s 层的人乘电梯，而住在t 层的人直接上楼，s ＜t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少．设电梯停在第x 层，在第1层有y 人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为： s=3[1+2+3+…+（33-x ）]+3（1+2+…+y ）+[1+2+…+（x-y-2）]， =3×(33－x)(34－x)2+3y ×(y ＋1)2+(x －y －2)×(x －y －1)2，=2x 2-（y+102）x+2y 2+3y+1684， =2（x-y ＋1024）2+18（15y 2-180y+3068）， =2（x-y ＋1024）2+158（y-6）2+316≥316． 又当x=27，y=6时，s=316，故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316．。