广东省广州市越秀区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},B ={2,3}，则A ∪(∁U B)=( )A. {3}B. {1,4,5}C. {1,2,3,4,5}D. {1,3,4,5}2. cos42°cos78°−sin42°sn78°=( )A. 12B. −12C. √32D. −√323. 三个数a =60.7，b =0.76，c =log 0.76的大小顺序是( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. a <c <b4. 已知sin(α−π4)=13，则cos(α+5π4)的值等于( )A. −13B. 13C. −2√22D. 2√235. 已知函数f(x)=√32sinx +12cosx ，则f(π12)=( )A. √22B. √32C. 1D. √26. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =13,y =23B. x =14,y =34C. x =23,y =13D. x =34,y =147. 设b ∈R ，若函数f(x)=4x −2x+1+b 在[−1,1]上的最大值是3，则其在[−1,1]上的最小值是( )A. 2B. 1C. 0D. −18. 将函数f(x)=√3cos2x +sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，且满足|g(x)|≤a 恒成立，则a 的最小值为( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =1，|b ⃗ |=2则(3a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =( )A. 5B. −5C. 6D. −610. 已知函数y =f(x)的图象与函数y =1x+1的图象关于原点对称，则f(x)=( )A. 1x+1B. 1x−1C. −1x+1D. −1x−111. 已知函数f(x)={x +2,x >ax 2+5x +2,x ≤a，若函数g(x)=f(x)−2x 恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A. [−1,1)B. [−1,2)C. [−2,2)D. [0,2]12.已知减函数y=f(x−1)是定义在R上的奇函数，则不等式f(1−x)>0的解集为()A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. (−∞,0)D. (0,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(x,4)，若a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则x=______．14.log216−log24= ________．15.已知集合A={x|lnx>0}，B={x|2x<3}，则A∩B=______．16.定义于R上的偶函数f(x)满足对任意的x∈R都有f(x+8)=f(x)+f(4)，若当x∈[0,2]时，f(x)=2−x，则f(2017)=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知α为第二象限角，且4sinα+3cosα=0．(Ⅰ)求tanα与sinα的值；(Ⅱ)求sinα+2cosα与tan2α的值．2sinα+cosα)一段图象如图18.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|φ|<π2所示．(1)分别求出A，ω，φ并确定函数f(x)的解析式；(2)求出f(x)的单调递增区间．19.已知a⃗=(2,1),b⃗ =(3,−1)(1)求|a⃗−b⃗ |；(2)求a⃗与b⃗ 的夹角θ．20.(本小题满分14分)，3AC=4BC．在▵ABC中，AB=2，cosC=78(1)求AC，CB的长；(2)求sin(A−C)的值．21.科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)．(1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．22.已知函数f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)．(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)若f(m)−f(−m)=2，求实数m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查了集合的交，并，补的混合运算，属于基础题．根据题意得到∁U B={1,4,5}，又A={1,3}，即可得解．解：因为集合U={1,2,3,4,5},B={2,3}，所以∁U B={1,4,5}，又A={1,3}，所以A∪(∁U B)={1,3,4,5}，故选D．2.答案：B解析：解：cos42°cos78°−sin42°sn78°=cos(42°+78°)=cos120°=−cos60°=−12，故选：B．利用两角和的余弦公式，诱导公式，求得所给式子的值．本题主要考查两角和的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．3.答案：B解析：解：∵60.7>1，0<0.76<1，c=log0.76<0，∴c<b<a，故选：B．根据指数幂和对数的性质即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据对数的运算法则和指数幂性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：B解析：解：∵sin(α−π4)=13，∴cos(α+5π4)=cos(α+π4+π)=−cos(α+π4)=−sin[π2−(α+π4)]=−sin(π4−α)=sin(α−π4)=13．故选：B ．利用同角三角函数关系式的应用及诱导公式化简所求后，结合已知即可得解． 本题主要考查了同角三角函数关系式的应用及诱导公式的应用，属于基础题．5.答案：A解析：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基础题．由两角和的正弦公式化简解析式后代入即可求解．解：∵f(x)=√32sinx +12cosx =sin(x +π6)，∴f(π12)=sin(π12+π6)=sin π4=√22， 故选A ．6.答案：B解析：本题考查平面向量的基本定理的应用，属于基础题． 直接利用向量的运算法则化简求解即可．解：在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =14，y =34． 故选：B ．7.答案：A解析：本题考查函数的最值的求法与应用，换元法的应用，考查计算能力． 利用换元法，化简函数的解析式，通过二次函数的最值转化求解即可． 解：函数f(x)=4x −2x+1+b =(2x )2−2⋅2x +b ， 设2x =t ，则f(x)=t2−2⋅t+b=(t−1)2+b−1．因为x∈[−1,1]，所以t∈[12,2]，当t=1时，f(x)min=b−1；当t=2时，f(x)max=3，即1+b−1=3，b=3，所以函数f(x)在[−1,1]上的最小值是2．故选A．8.答案：D解析：解：f(x)=√3cos2x+sin2x=2(sinπ3cos2x+cosπ3sin2x)=2sin(2x+π3)，依题意得：g(x)=2sin[2(x−π6)+π3]+1=2sin2x+1，所以g(x)∈[1,3]，因为|g(x)|≤a恒成立，所以a≥3．则a的最小值是3．故选：D．利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为f(x)=2sin(2x+π3)，再根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得函数g(x)的解析式，则易求a的最小值．本题主要考查两角和的正弦公式，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．9.答案：B解析：本题考查向量数量积的运算，属基础题．根据向量数量积的运算法则化简即可．解：因为a⃗⋅b⃗ =1，|b⃗ |=2，所以(3a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =3a⃗·b⃗ −2b⃗ 2=3−8=−5． 故选B ．10.答案：B解析：解：设点P(x,y)是函数y =f(x)的图象，与P 关于原点对应的点为(−x,−y)在函数y =1x+1的图象上，所以代入得−y =1−x+1，即y =1x−1， 故选：B ．利用函数图象关于原点对称，利用点的对称关系求出f(x)的表达式即可． 本题主要考查函数图象的对应关系，利用点的对称性是解决本题的关键．11.答案：B解析：本题考查函数的图象的应用，函数的零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力，属于基础题目．利用函数的零点，转化为两个函数的图象的交点个数，利用数形结合转化求解即可． 解：函数f(x)={x +2,x >ax 2+5x +2,x ≤a ，x 2+5x +2=2x ，可得x 2+3x +2=0， 解得x =−1，x =−2.y =x +2与y =2x 的交点为：x =2，y =4，函数y =f(x)与y =2x 的图象如图：函数g(x)=f(x)−2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是：−1≤a <2． 故选：B ．12.答案：B解析：解：∵y=f(x−1)是奇函数，∴其图象关于原点对称，则y=f(x)的图象关于(−1,0)对称，即f(−1)=0，∵y=f(x−1)是减函数，∴y=f(x)也是减函数，∴f(1−x)>0，即f(1−x)>f(−1)，由f(x)递减，得1−x<−1，解得x>2，∴f(1−x)>0的解集为(2,+∞)，故选B．由y=f(x−1)的奇偶性、单调性可得f(x)的图象的对称性及单调性，由此可把不等式化为具体不等式求解．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“f”是解题的关键所在．13.答案：12解析：解：a⃗−b⃗ =(2−x,−1)；∵a⃗⊥(a⃗−b⃗ )；∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=2(2−x)−3=0；解得x=1．2．故答案为：12可求出a⃗−b⃗ =(2−x,−1)，根据a⃗⊥(a⃗−b⃗ )即可得出a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=0，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算．14.答案：2=log24=2．解析：解：原式=log2164故答案为：2．进行对数的运算即可．考查对数的定义，对数的运算性质．15.答案：(1,log23)解析：解：A={x|lnx>0}={x|x>1}，B={x|2x<3}={x|x<log23}，则A∩B=(1,log23)；故答案为：(1,log23)．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．16.答案：1解析：解：因为定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(x+8)=f(x)+f(4)，所以当x=−4时，f(−4+8)=f(−4)+f(4)，即f(4)=2f(4)，所以f(4)=0．所以f(x+8)=f(x)+f(4)=f(x)，即函数的周期是8．当x∈[0,2]时，f(x)=2−x，所以f(2017)=f(2016+1)=f(1)=2−1=1．故答案为：1．利用函数是偶函数，由f(x+8)=f(x)+f(4)，可得函数的周期，然后利用周期性进行求值．本题主要考查函数周期性的性质以及应用，利用函数的奇偶性先得f(4)的值，然后利用根据周期性的定义是解决本题的关键．17.答案：解：(Ⅰ)4sinα+3cosα=0⇒tanα=sinαcosα=−34，将4sinα+3cosα=0代入sin2α+cos2α=1，解方程得{sinα=−35cosα=45或{sinα=35cosα=−45,又α为第二象限角，sinα>0，故{sinα=−35cosα=45舍去，∴{sinα=35 cosα=−45;(Ⅱ)sinα+2cosα2sinα+cosα=tanα+22tanα+1=−52，tan 2α=2tan α1−tan2α=2×(−34)1−(−34)2=−247．解析：本题考查同角关系式及二倍角公式的应用，是一般题．(Ⅰ)由已知及tan α=sin αcos α求出tanα，由已知结合sin2α+cos2α=1及α所在的象限即可求出sinα;(Ⅱ)由同角关系式求出sinα+2cosα2sinα+cosα，然后利用二倍角公式求出tan2α即可．18.答案：解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象知，A=2，T=13π3−π3=4π，∴ω=12，令12×π3+φ=2kπ，k∈Z，∴φ=2kπ−π6；又|φ|<π2，∴φ=−π6；∴函数f(x)=2sin(12x−π6)；(2)根据正弦函数的单调性，令−π2+2kπ≤12x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，则−π3+2kπ≤12x≤2π3+2kπ，k∈Z，解得−2π3+4kπ≤x≤4π3+4kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间是[−2π3+4kπ,4π3+4kπ]，k∈Z．解析：(1)根据函数f(x)的图象，求出A、T、ω与φ的值即可；(2)根据正弦函数的单调性，即可求出f(x)的单调递增区间．本题考查了利用三角函数的部分图象求解析式的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．19.答案：解：(1)a⃗−b⃗ =(−1,2)，∴|a⃗−b⃗ |=√5；(2)|a⃗|=√5,|b⃗ |=√10，a⃗⋅b⃗ =5，∴cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=√5×√10=√22，∵θ∈[0,π]，∴θ=π4．解析：考查向量减法和数量积的坐标运算，求向量夹角，属于基础题．(1)求出a⃗−b⃗ 的坐标，即可得出|a⃗−b⃗ |的值；(2)根据公式cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|即可求出cos<a⃗,b⃗ >的值，从而得出a⃗,b⃗ 的夹角θ的值．20.答案：解：(1)在▵ABC中，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2−2AC·BCcosC，设AC=x，则BC=34x，∴4=x2+(34x)2−2x·34x·78，∴x=4，即AC=4，BC=3；(2)由平方关系可得，在▵ABC中，由正弦定理可得．∵BC=3<4=AC，∴A是锐角，cosA=1116．∴sin(A−C)=sinAcosC−cosAsinC=5√1564．解析：本题考查正余弦定理的应用及和差角公式，属于中档题．(1)依题意，由余弦定理解方程即可；(2)运用平方关系及两角和与差的三角函数公式计算即可．21.答案：解：设2018年的碳排放总量为a1，2019年的碳排放总量为a2，…(1)由已知，a1=400×0.9+m，a2=0.9×(400×0.9+m)+m=400×0.92+0.9m+m =324+1.9m.(2)a3=0.9×(400×0.92+0.9m+m)+m=400×0.93+0.92m+0.9m+m，…a n=400×0.9n+0.9n−1m+0.9n−2m+⋅⋅⋅0.9m+m=400×0.9n+m 1−0.9n1−0.9=400⋅0.9n+10m(1−0.9n)=(400−10m)⋅0.9n+10m.由已知有∀n∈N∗,a n≤550当400−10m=0即m=40时，显然满足题意；当400−10m>0即m<40时，由指数函数的性质可得：(400−10m)×0.9+10m≤550，解得m≤190．综合得m<40；当400−10m<0即m>40时，由指数函数的性质可得：10m≤550，解得m≤55，综合得40<m≤55，综上可得所求范围是m∈(0,55].解析：本题考查函数模型的选择与应用，考查数列知识，考查解不等式，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．(1)根据，A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨，即可求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2)求出数列的通项，A市永远不需要采取紧急限排措施，则有∀n∈N∗，a n≤550，分类讨论，即可求m的取值范围．22.答案：(本小题满分8分)解：(1)解：f(x)=ln(1−x)−ln(1+x).是奇函数．……(1分)证明：由{1−x >01+x >0得−1<x <1， 故f(x)=ln(1−x)−ln(1+x) 的定义域为(−1,1)……(2分)设任意x ∈(−1,1)则−x ∈(−1,1)，f(−x)=ln(1+x)−ln(1−x)=−[ln(1−x)−ln(1+x)]=−f(x)……(3分) 所以f(x)是奇函数．…………(4分)(2)由(1)知，f(x)是奇函数，则f(−m)=−f(m)∴f(m)−f(−m)=f(m)+f(m)=2f(m)=2，即f(m)=1……(6分) ∴ln 1−m 1+m =1即1−m 1+m =e ，解得m =1−e 1+e …………(8分)解析：(1)要判断函数f(x)的奇偶性，只要检验f(−x)与f(x)的关系即可；(2)结合(1)中f(x)是奇函数可知f(−m)=−f(m)，代入即可求解； 本题主要考查了奇函数的定义及性质的简单应用，属于基础试题．。