例 1.2.3 设 A = ( a b c) , B = ( x
y
z)，
则 A- B = (a – x
b– y
c - z) ．
容易验证, 矩阵的加法具有下列基本性质：
1. 交换性 A + B = B + A． 2. 结合性 ( A + B ) + C = A + ( B + C )． 3. 零矩阵的单位性 A + 0 = 0 + A = A ．(零矩阵：所有元素均为 0 的矩阵) 4. 保持转置性 （A + B）ˊ= Aˊ + Bˊ． 5. 负矩阵的存在性，即对任意矩阵 a11 a 21 A= M a m1 a12 a 22 M a m2
L a1n − a11 L a2n − a 21 , 矩阵 M O M L a mn − a m1
− a12 − a 22 M − a m2
L − a1n L − a2n 称为 A 的负矩阵, O M L − a mn
记作 - A, 且有 A + (- A) =(- A)+ A = 0 ． 显然, 若 A 与 B 是同型矩阵, 则 A - B = A + (- B)． 例 1.2.4
性技术人员、生产工人、其他职工分别为 150、400、15 人，而女性职工分别为
35、300、35 人．
例 1.2.2
6 5 − 2 0 若A= ，B = ， 1 − 1 3 4
6 + ( −2) 5 + 0 4 5 则 A+ B = = ． − 1 + 4 4 3 1+ 3
1.2 矩阵的运算 教学要求
本节要求熟练掌握矩阵运算的基本法则，学会用矩阵的运算法则重新解释 线性方程组的关系，熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的逆和可逆矩阵方程的解． 1. 熟练掌握矩阵的加减、数乘和乘法运、算． 2. 熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的逆． 3. 熟练运用矩阵的初等变换求解可逆矩阵方程．
a12 − b12 a 22 − b22 a m 2 − bm 2
M
L a1n − b1n L a 2 n − b2 n ． O M L a mn − bmn
13
例 1.2.1 设某机械总公司下属一个分公司, 其职工按男女区分统计如下表,
总公司 技术人员 男 女 50 10 生产工人 100 200 其他 5 15 技术人员 100 25
求矩阵 X ． 解．由 A + 3X = B 得 3X = B－A，所以
1 X = (B − A) = 3 4 6 − 5 3 7 − 3 4 − (− 2) − 3 − 2 3 − 0 1 1 1− 3 0 − 0 7 − 8 = 2 − 2 0 − 1 3 −1 3 3 2−4 3 − 6 9 − 9 3 − 2 − 3 0 5 − 2
b1k b L ain ) 2 k = ai1b1k + ai 2 b2 k + L + ain bnk M b nk
(ai1
ai 2
此数恰巧就是矩阵 AB 的第 i 行第 k 列元素 cij．这就是说矩阵 AB 的第 i 行第 j 列 元素就是 A 的第 i 个行向量与 B 的第 j 个列向量的乘积． 2.矩阵的乘法和线性方程组的关系 采用矩阵的乘法, 一般线方程组
L b1n L b2 n , O M L bmn
a12 + b12 a 22 + b22 am2
M + bm 2
a1n + b1n L a 2 n + b2 n , O M L a mn + bmn
两矩阵的差为矩阵
a11 − b11 a − b21 A − B = 21 M a − b m1 m1
知ห้องสมุดไป่ตู้点
1．矩阵的加减和倍数 2．矩阵的乘法 3．逆矩阵 1.2.1 矩阵的加减和倍数 1.矩阵的加减 两个行数相同列数也相同的矩阵称为同型矩阵， 只有这样同型的矩阵才可以 做加减法．做加法时，把两矩阵中对应位置处的元素相加，和数放在原位置处， 即得到行列数不变的新矩阵，称为原来两矩阵的和．对于减法即两矩阵的差，可 以类似地定义．用数学语言表达为：
c11 c21 的乘积是一 m × p 矩阵， 记为 C = AB = M cm1
M
cm 2
L c1 p L c2 p , 其中乘积矩阵 C O M L cmp
中第 i 行第 k 列处元素为
cik = ai1b1k + ai 2 b2 k + L + ain bnk = (ai1
ka12 ka 22
M ka m2
L ka1n L ka 2 n ． O M L ka mn
1 A = A, (-1) A = -A ，并且
容易验证，对任意矩阵 A，我们有 0 A = 0, 矩阵与数的乘法具有下列基本性质：
1. 对加法的分配性 k(A+B) = kA + kB， ( k+l )A = kA + lA ． 2. 结合性 k(lA) = (kl)A = l(kA) ． 3. 保持转置性 (kA)ˊ= k Aˊ． 3 − 2 2 0 7 4 − 3 3 例 1.2.5 已知 A = 1 3 0 8 , B = 3 1 0 7 , 2 4 6 9 5 2 3 9
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L L L a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
可以非常简单地表示为矩阵方程 AX=B, 其中 A 为线性方程组的系数矩阵，
a11 a 21 矩阵加减法的定义．设矩阵 A = M a m1
则两矩阵的和为矩阵
a11 + b11 a + b21 A + B = 21 M a + a m1 m1
a12 a 22 M a m2
L
L a1n b11 b12 L a2n b21 b22 , B = M O M M L a mn bm1 bm2
2 3 4 − 2 1 − 1 设, A = ，则 , B = 1 0 2 3 0 3
14
(A− B
)′
′ ′ 4 − 2 2 − ( −2) 3 − 1 4 − ( −1) 4 2 5 = = = 2 0 , 容易看 0−0 2−3 1− 3 − 2 0 − 1 5 − 1
∑a ∑a
t =1 n t =1 n
n
1t bt 2
L
2t t 2
b
∑a
t =1
M
mt t 2
b
b t =1 n L ∑ a 2 t btp . t =1 O M n L ∑ a mt btp t =1
∑a
n
1t tp
矩阵的乘法似乎非常复杂，但是注意观察我们不难发现，把 A 的第 i 个行 向量与 B 的第 k 个列向量（都是矩阵）相乘，就得到一个 1×1 阶矩阵，也就是 一个数，
t =1
n
其中 ∑ 称为和号, 其下的 t = 1 表示 ∑ 后面式子 ait btk 中的下标 t 从 1 开始, 顺次取
t = 1, t = 2,L , 直到t = n, 此处下标 t 的最后一个数是 ∑ 上面标出的 n, 然后将这 n
个式子相加．于是有
a11 a 21 AB = M a m1 a12 a 22 M a m2 L a1n b11 b12 L a 2 n b21 b22 M O M M L a mn bn1 bn 2 L b1 p L b2 p O M L bnp n ∑ a1t bt 1 =1 tn a 2 t bt 1 = ∑ t =1 n M ∑ a mt bt 1 t =1
a11 a 21 矩阵数乘的定义. 设 k 为一实数， A = M a m1
为 A 与数 k 的数乘）是与 A 同型的矩阵
a12 a 22 M a m2
L a1n L a2n ， 则 A 的 k 倍（或称 O M L a mn
ka11 ka 21 kA = M ka m1
式可用下述形式表达:
12 (0.3 0.2 0.8) 15 = 0.3 ⋅ 12 + 0.2 ⋅ 15 + 0.8 ⋅ 1 = 7.4 （元）． 1
这种一行与一列矩阵的运算称为矩阵的乘法. 我们可以将它推广成一般的
12 矩阵乘法. 若记 A = (0.3 0.2 0.8), B = 15 , 则上述乘法就可记成 A ⋅ B , 或甚至 1
分公司 生产工人 300 100 其他 10 20
我们分别用矩阵 A 和 B 来列出总公司和分公司的职工人数情况, 然后汇总统计用
50 100 5 100 300 10 矩 阵 A+B 表 示 ， 即 A = , B= ，则汇总为 10 200 15 25 100 20 150 400 15 A+ B = , 从矩阵 A+B 中可了解该机械公司的职工总数情况：男 35 300 35
ai 2
b1k b L a in ) 2 k , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ p , M b nk